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Euler標数を (負の値も許した) 測度とみなし, constructible function の積分を考えるというアイデアは, Viro
[Vir88] と Schapira [Sch91]により, 80年代の終り頃に考えられたようである。Curry と Ghrist と Robinson の
survey [CGR] があるので, まずはそれを読むべきだろう。それによると, その起源となったのは, 当然であるが, MacPherson
[Mac74] とKashiwara [Kas73] による constructible functionの理論である。
Viro と Schapira の論文が出た後, しばらくはあまり調べられていなかったが, 最近二つの方向から研究が進められている。
一つは, Ghrist らが考えている sensor networkの研究への応用である。 例えば, Baryshnikov
と Ghrist の [BG09; BG10] がある。Bobrowski と Borman [BB]は persistent
homologyとの関係を考えている。Schapira も工学的な応用 [Sch95] を考えていたようである。 その方向での拡張としては,
McTague によるもの[McT]がある。
もう一つは, 代数幾何学を始めとした, 幾何学への応用である。McCrory と Parusinski の [MP07]や Bröcker の
[Brö05] などは real algebraic geometry や o-minimal geometry への応用である。
Cluckers と Loeser の [CE07] は, Kontsevich の motivic integration の理論を Euler
calculus の真似をして elementary な方法で構築する試みで興味深い。
他にも, Dutertre と Fukui [DF] の, 多様体の間の stable map への応用などもある。
References
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[BB]
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Gaussian Random Fields and Persistent Homology. arXiv: 1003.5175.
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[BG10]
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Yuliy Baryshnikov and
Robert Ghrist. “Euler integration over definable functions”. In: Proc.
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Raf
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differential equations”. In: Proc. Japan Acad. 49 (1973), pp. 803–804.
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[Vir88]
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In: Topology and geometry—Rohlin Seminar. Vol. 1346. Lecture
Notes in Math. Springer, Berlin, 1988, pp. 127–138. url:
http://dx.doi.org/10.1007/BFb0082775.
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