解析の道具を用いて定義された(コ)ホモロジー

特異ホモロジーは, 特異単体で生成された自由アーベル群を用いて定義される。 つまり特異単体の (係数付きの) 有限和である。 有限和しか必要ないのなら代数の世界で話がすむが, 無限和を考える必要があるときは, 解析の道具が必要になる。

解析の道具を用いて定義されたそのような不変量として, 以下のようなものがある。

• measure homology
• \(L^2\)不変量
• bounded cohomologyと \(\ell ^1\)-homology
• functorial semi-norm on singular homology ([Gro99; CL])
• homology with Lipschitz locally finite support ([LS])
• uniformly finite homology ([BW92; DL])

CW複体に対しては, singular homology と measure homology が一致することが Löh により [Löh] で示されている。

Functorial semi-norm とは, semi-norm を持つ Abel群 の圏に値を持 つ functor のことである。Abel群の圏への functor \(F\) が semi-norm を持つ Abel群の圏へ lift \(\widehat{F}\) を持つとき, その \(\widehat{F}\) のことを \(F\) の functorial semi-norm と呼ぶ。例えば, \(\ell ^1\)-homology がその例である。 Löh の [Loe] を見るとよい。

もう一つの系統は, 作用素環の K-theory である。

• \(C^*\)環を始めとした作用素環の \(K\) 理論

以上は, 空間自体に解析的構造を仮定しない場合である。 可微分多様体の場合には, 微分形式があるので, それを用いて各種のコホモロジーが定義できる。

Valette の [Val] によると, \(L^2\)-form を用いたコホモロジーを考えたのは Cheeger [Che79; Che83] らしい。その \(L^2\)コホモロジーは, middle perversity の intersection cohomology と同型であることが, Cheeger, Goresky, MacPherson の [CGM82] で示されている。

更に Valette によると, より一般の \(L^p\)-form (\(1<p<\infty \)) を用いたコホモロジーと intersection cohomology との関係は Youssin [You94] により 調べられているようである。

Valette 自身は, \(L^{\infty }\)-form を用いたコホモロジーと intersection cohomology との関係を考えている。

• \(L^p\)コホモロジー (\(1<p\le \infty \))

References

[BW92]

Jonathan Block and Shmuel Weinberger. “Aperiodic tilings, positive scalar curvature and amenability of spaces”. In: J. Amer. Math. Soc. 5.4 (1992), pp. 907–918. url: http://dx.doi.org/10.2307/2152713.

[CGM82]

Jeff Cheeger, Mark Goresky, and Robert MacPherson. “\(L^2\)-cohomology and intersection homology of singular algebraic varieties”. In: Seminar on Differential Geometry. Vol. 102. Ann. of Math. Stud. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1982, pp. 303–340.

[Che79]

Jeff Cheeger. “On the spectral geometry of spaces with cone-like singularities”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 76.5 (1979), pp. 2103–2106.

[Che83]

Jeff Cheeger. “Hodge theory of complex cones”. In: Analysis and topology on singular spaces, II, III (Luminy, 1981). Vol. 101. Astérisque. Paris: Soc. Math. France, 1983, pp. 118–134.

[CL]

Diarmuid Crowley and Clara Loeh. Functorial semi-norms on singular homology and (in)flexible manifolds. arXiv: 1103.4139.

[DL]

Francesca Diana and Clara Löh. The \(\ell ^\infty \)-semi-norm on uniformly finite homology. arXiv: 1502.01177.

[Gro99]

Misha Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Vol. 152. Progress in Mathematics. Based on the 1981 French original [ MR0682063 (85e:53051)], With appendices by M. Katz, P. Pansu and S. Semmes, Translated from the French by Sean Michael Bates. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1999, pp. xx+585. isbn: 0-8176-3898-9.

[Loe]

Clara Loeh. Finite functorial semi-norms and representability. arXiv: 1404.6557.

[Löh]

Clara Löh. Measure homology and singular homology are isometrically isomorphic. arXiv: math/0504103.

[LS]

Clara Löh and Roman Sauer. Degree theorems and Lipschitz simplicial volume for non-positively curved manifolds of finite volume. arXiv: 0710.1635.

[Val]

Guillaume Valette. \(L^\infty \) cohomology is intersection cohomology. arXiv: 0912.0713.

[You94]

Boris Youssin. “\(L^{p}\) cohomology of cones and horns”. In: J. Differential Geom. 39.3 (1994), pp. 559–603. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214455073.