Bounded cohomology と ℓ1-homology

Bounded cohomology と \(\ell ^1\)-homology は, Gromov により [Gro82] で定義された singular cohomology と homology の変種である。 チェインに無限和を許す代りに bounded という条件をつける。 ただ, Frigerio の本 [Fri] によると, 群の bounded cohomology は, Gromov よりずっと前に B.E. Johnson [Joh72] と Trauber により導入されていたようである。

Gromov のアイデアをきちんと書いたものとして Ivanov の [Iva85] があるが, bounded cohomology について勉強するのなら, まず Bühler の thesis [Büh08] を見るのがよいだろう。 Bühler のは, quasi-Abelian category や exact category, そしてその derived category の \(t\)-structure などを用いてホモロジー代数的に書いてあるので, 読み易い。その Bühler の仕事の元になった Monod の本 [Mon01] もある。 最初に読むものとしては, Monod の ICM での講演 [Mon06] が良いように思うが。 そこには bounded cohomology に関する色々な問題が書かれている。

現代的には, bounding class \(\mathcal{B}\) を決め, それに関する \(\mathcal{B}\)-bounded cohomology として一般的に扱うのが主流のようである。

まず気になるのが ordinary cohomology とどれぐらい異なるか, であるが, bounded cohomology から ordinary cohomology への canonical な写像があるので, これが全射か単射か同型かを考えることになる。 これについては Monod の [Mon06] に Problem A として, 連結半単純 Lie 群で中心が有限群であるものに対しては同型になるか, という問 題が挙げられている。全射性については, 様々な人が問題として挙げているようで, 古くは Dupont の [Dup79] などがある。

Bounded cohomology での transfer については, Chatterji と Mislin の [CM] がある。

\(\ell ^1\)-homology は, ある意味 bounded cohomology のホモロジー版とも考えられるが, \(\ell ^1\)-homology と bounded cohomology の関係, 特に双対性については, Löh [Löh08] や Bühler [Büh] が調べている。

\(K\)-theory の bounded cohomology version を考えている人もいる。Fowler と Ogle の [FO] である。彼等は, より一般に bounded homotopy theory とか weighted algebraic topology と呼ぶべきものを模索しているようである。

References

[Büh]

Theo Bühler. On the Duality between \(\ell ^1\)-Homology and Bounded Cohomology. arXiv: 0803.0680.

[Büh08]

Theo Bühler. “On the algebraic foundation of bounded cohomology”. PhD thesis. ETH Zürich, 2008. url: https://doi.org/10.3929/ethz-a-005561107.

[CM]

Indira Chatterji and Guido Mislin. On transfer in bounded cohomology. arXiv: 0910.0514.

[Dup79]

Johan L. Dupont. “Bounds for characteristic numbers of flat bundles”. In: Algebraic topology, Aarhus 1978 (Proc. Sympos., Univ. Aarhus, Aarhus, 1978). Vol. 763. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1979, pp. 109–119.

[FO]

J. Fowler and C. Ogle. Bounded homotopy theory and the \(K\)-theory of weighted complexes. arXiv: 1102.0497.

[Fri]

Roberto Frigerio. Bounded cohomology of discrete groups. arXiv: 1610.08339.

[Gro82]

Michael Gromov. “Volume and bounded cohomology”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 56 (1982), 5–99 (1983). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1982__56__5_0.

[Iva85]

N. V. Ivanov. “Foundations of the theory of bounded cohomology”. In: Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 143 (1985). Studies in topology, V, pp. 69–109, 177–178.

[Joh72]

Barry Edward Johnson. Cohomology in Banach algebras. Memoirs of the American Mathematical Society, No. 127. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1972, pp. iii+96.

[Löh08]

Clara Löh. “Isomorphisms in \(\ell ^1\)-homology”. In: Münster J. Math. 1 (2008), pp. 237–265. arXiv: math/0612589.

[Mon01]

Nicolas Monod. Continuous bounded cohomology of locally compact groups. Vol. 1758. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001, pp. x+214. isbn: 3-540-42054-1. url: http://dx.doi.org/10.1007/b80626.

[Mon06]

Nicolas Monod. “An invitation to bounded cohomology”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. II. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 1183–1211.