Quasi-Abelian category

Abelian category の一般化の一つで, quasi-abelian category と呼ばれるものがある。 Kopylov [Kop05] は, Raĭkov により “semi-abelian category” という名前で導入された [Raı̆69] ものだと言っているが, Fiorot [Fio21] は Jurchescu が [Jur66] で導入したと言っている。 更に, Bühler の [Büh] では, Yoneda の [Yon60] が参照されている。 Fiorot は Rump の論文 [Rum08] を short history として用いている。

現在では, quasi-abelian category と呼ぶのが普通だろう。そして, semi-abelian category というと 別のものを意味する。 詳しくは, Schneiders の [Sch99] をみるべきである。

Raĭkov 自身は, semi-abelian category は常に quasi-abelian category になる, と思っていたらしく, この主張は Raĭkov’s conjecture と呼ばれている。 Rump の論文 [Rum08] のタイトルから分かるように, 残念ながらこれは正しくなかった。反例については, この Rump の論文の他に Bonet と Dierolf の [BD06], Rump の [Rum11], Wengenroth の [Wen12] などを見るとよい。

Quasi-abelian category の例としては以下のものがある。

• locally compact Abelian group の圏, より一般にHausdorff Abelian groupの圏 [HS07]
• topological vector space の圏
• Banach space の圏
• 群 \(G\) の Banach space の上の isometric representation と \(G\)-equivariant bounded linear map の成す圏 [Büh]
• filtered ring 上の filtered module の圏
• torsion-free Abelian group の圏
• bornological convex vector space の圏 [Wal]

このように, 関数解析でホモロジー代数を用いる際には, 有用な概念のようである。実際, Prosmans は, [Pro99b; Pro99a; Pro00] という研究を行なっている。 Bühler は [Büh] で bounded cohomology と \(\ell ^1\)-homology の双対性を調べる際に使っている。他にも, [HS07] で Hoffmann と Spitzweck により locally compact Abelian group をホモロジー代数的に調べるためにも使われているし, 代数幾何では, Bridgeland の [Bri07] で使われている。当然, 代数解析でも有用であり, Prosmans と Scheiders による応用 [PS00] がある。 また彼等は “A Homological Study of Bornological Spaces” という preprint も書いている。Prosmans の website から入手できる。

ホモロジー代数的な扱いとしては, まず derived category を考えたくなる。

• quasi-abelian categoryの derived category [Sch99]

より精密には, model category や \((\infty ,1)\)-category を考えたくなるが, bornological convex vector space の chain complex の圏については, Wallbridge [Wal] により symmetric monoidal model structure が定義されている。

計算をするためには, spectral sequence を作りたくなるが, それについては Kopylov の [Kop04] がある。

Kopylov は, [Kop05] で quasi-abelain category の commutative square に対し kernel と cokernel を定義している。「Commutative square に対する kernelとcokernel」という概念は, 元々 Lambek により[Lam64] で導入されたものらしい。

References

[BD06]

J. Bonet and S. Dierolf. “The pullback for bornological and ultrabornological spaces”. In: Note Mat. 25.1 (2005/06), pp. 63–67.

[Bri07]

Tom Bridgeland. “Stability conditions on triangulated categories”. In: Ann. of Math. (2) 166.2 (2007), pp. 317–345. arXiv: math/0212237. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.166.317.

[Büh]

Theo Bühler. On the Duality between \(\ell ^1\)-Homology and Bounded Cohomology. arXiv: 0803.0680.

[Fio21]

Luisa Fiorot. “\(n\)-quasi-abelian categories vs \(n\)-tilting torsion pairs: with an application to flops of higher relative dimension”. In: Doc. Math. 26 (2021), pp. 149–197. arXiv: 1602.08253.

[HS07]

Norbert Hoffmann and Markus Spitzweck. “Homological algebra with locally compact abelian groups”. In: Adv. Math. 212.2 (2007), pp. 504–524. arXiv: math/0510345. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2006.09.019.

[Jur66]

Martin Jurchescu. “Theory of categories”. In: topology, Categories, Riemann Surfaces (Romanian). Editura Acad. Republicii Socialiste România, Bucharest, 1966, pp. 73–240.

[Kop04]

Yaroslav Kopylov. “Exact couples in a Raı̈kov semi-abelian category”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 45.3 (2004), pp. 162–178.

[Kop05]

Yaroslav Kopylov. “On the Lambek invariants of commutative squares in a quasi-abelian category”. In: Sci. Ser. A Math. Sci. (N.S.) 11 (2005), pp. 57–67. arXiv: math/0510072.

[Lam64]

Joachim Lambek. “Goursat’s theorem and homological algebra”. In: Canad. Math. Bull. 7 (1964), pp. 597–608.

[Pro00]

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[Pro99a]

Fabienne Prosmans. “Derived limits in quasi-abelian categories”. In: Bull. Soc. Roy. Sci. Liège 68.5-6 (1999), pp. 335–401.

[Pro99b]

Fabienne Prosmans. “Derived projective limits of topological abelian groups”. In: J. Funct. Anal. 162.1 (1999), pp. 135–177. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1998.3370.

[PS00]

Fabienne Prosmans and Jean-Pierre Schneiders. “A topological reconstruction theorem for \(\mathcal {D}^{\infty }\)-modules”. In: Duke Math. J. 102.1 (2000), pp. 39–86. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-00-10212-8.

[Raı̆69]

D. A. Raı̆kov. “Semiabelian categories”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 188 (1969), pp. 1006–1009.

[Rum08]

Wolfgang Rump. “A counterexample to Raikov’s conjecture”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 40.6 (2008), pp. 985–994. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdn080.

[Rum11]

Wolfgang Rump. “Analysis of a problem of Raikov with applications to barreled and bornological spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.1 (2011), pp. 44–52. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.02.031.

[Sch99]

Jean-Pierre Schneiders. “Quasi-abelian categories and sheaves”. In: Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 76 (1999), pp. vi+134.

[Wal]

James Wallbridge. Homotopy theory in a quasi-abelian category. arXiv: 1510.04055.

[Wen12]

J. Wengenroth. “The Raı̆kov conjecture fails for simple analytical reasons”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.7 (2012), pp. 1700–1703. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.01.007.

[Yon60]

Nobuo Yoneda. “On Ext and exact sequences”. In: J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I 8 (1960), 507–576 (1960).