局所コンパクト群とコンパクト群

位相群は, 位相空間の変換群や \(p\)進数の構成など, 様々な場面で登場するが, 関数解析的に調べたり, 表現を考えたりするときは, 局所コンパクトやコンパクトという条件が重要になる。

有名なのは, Hilbert の第5問題, つまり位相群が Lie 群の構造を持つための条件を考える, というものがある。これについては, まず Tao のblog post を見るとよいと思う。

• Hilbert’s fifth problem

関連して, Lie 群を位相群とする位相がどれぐらいあるかという問題がある。 Kramer の [Kra11] によると, locally compact で \(\sigma \)-compact であるという条件でほとんど決まるようである。Compact な場合は, Kallman [Kal74] により70年代に分かっていたようであるが。

位相群の位相空間への作用を考えるときには, 作用が proper という条件も含めて考えなければならないが, これについては Baum, Hajac, Matthes, Szymanski の [Bau+] を見るとよい。例えば, 局所コンパクト群の Lie subgroup による quotient が, 局所自明な principal bundle になることなどが書いてある。

Salmi の [Sal] によると, 局所コンパクト群の compact subgroup の \(C^*\)-algebra による特徴付けは, Lau と Losert [LL90] により 与えられたらしい。

局所コンパクト群 \(G\) とその compact subgroup \(H\) に対し \(G/H\) が多様体になる条件について, Antonyan [Ant12] が考えている。

局所コンパクト群を, 有限生成離散群の一般化とみなして扱っている本として, de Cornulier と de la Harpe の [CH16] がある。

離散群も含め, 位相群の重要な性質として amenability がある。またその reduced \(C^*\)-algebra に関連して \(C^*\)-simple という概念もある。de la Harpe の [Har] など。

• amenable group
• \(C^*\)-simple

このような視点からは, compact quantum semigroup の概念も定義 [MV98; Auk14] されている。

Falguières と Vaes [FV08] は, 任意のコンパクト群が \(\mathrm{II}_1\) factor の outer automorphism として実現できることを示している。 彼等は, 更に [FV10] で, 任意のコンパクト群の表現の category が, ある \(\mathrm{II}_1\)-factor の bimodule の category と同値になることを示している。

References

[Ant12]

Sergey A. Antonyan. “Equivariant extension properties of coset spaces of locally compact groups and approximate slices”. In: Topology Appl. 159.9 (2012), pp. 2235–2247. arXiv: 1103.0804. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2011.10.019.

[Auk14]

Marat Aukhadiev. “Pentagon equation and compact quantum semigroups”. In: The varied landscape of operator theory. Vol. 17. Theta Ser. Adv. Math. Theta, Bucharest, 2014, pp. 47–55. arXiv: 1112.2909.

[Bau+]

Paul F. Baum, Piotr M. Hajac, Rainer Matthes, and Wojciech Szymanski. Noncommutative Geometry Approach to Principal and Associated Bundles. arXiv: math/0701033.

[CH16]

Yves Cornulier and Pierre de la Harpe. Metric geometry of locally compact groups. Vol. 25. EMS Tracts in Mathematics. Winner of the 2016 EMS Monograph Award. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2016, pp. viii+235. isbn: 978-3-03719-166-8. arXiv: 1403.3796. url: https://doi.org/10.4171/166.

[FV08]

Sébastien Falguières and Stefaan Vaes. “Every compact group arises as the outer automorphism group of a \(\mathrm{II}_1\) factor”. In: J. Funct. Anal. 254.9 (2008), pp. 2317–2328. arXiv: 0705.1420. url: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2008.02.002.

[FV10]

Sébastien Falguières and Stefaan Vaes. “The representation category of any compact group is the bimodule category of a \(\mathrm{II}_1\) factor”. In: J. Reine Angew. Math. 643 (2010), pp. 171–199. arXiv: 0811.1764. url: https://doi.org/10.1515/CRELLE.2010.048.

[Har]

Pierre de la Harpe. On simplicity of reduced \(C^*\)-algebras of groups. arXiv: math/0509450.

[Kal74]

Robert R. Kallman. “The topology of compact simple Lie groups is essentially unique”. In: Advances in Math. 12 (1974), pp. 416–417. url: https://doi.org/10.1016/S0001-8708(74)80010-1.

[Kra11]

Linus Kramer. “The topology of a semisimple Lie group is essentially unique”. In: Adv. Math. 228.5 (2011), pp. 2623–2633. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2011.07.019.

[LL90]

Anthony To Ming Lau and Viktor Losert. “Complementation of certain subspaces of \(L_{\infty }(G)\) of a locally compact group”. In: Pacific J. Math. 141.2 (1990), pp. 295–310. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102646608.

[MV98]

Ann Maes and Alfons Van Daele. “Notes on compact quantum groups”. In: Nieuw Arch. Wisk. (4) 16.1-2 (1998), pp. 73–112. arXiv: math/9803122.

[Sal]

Pekka Salmi. Compact quantum subgroups and left invariant \(C^*\)-subalgebras of locally compact quantum groups. arXiv: 1004.4161.