von Neumann Algebra

von Neumann algebra について簡潔にまとめたものとして, Halvorson (と Müger) の [HM] の最初のsectionがある。これは “Handbook of the Philosophy of Physics” の中の quantum field theory についての一つ章であるが。 教科書としては, [SZ79; Dix81] などだろうか。 V. Jones の web site から download できる unpublished lecture note もよい。

von Neumann algebra とは, Hilbert 空間上の bounded operator の成す \(C^*\)-algebra の \(*\)-subalgebra で, 単位元を含み, weak operator topology で closed なものである。この最後の条件は, 位相を用いずに完全に代数的に表わすことができる。

von Neumann algebra と代数的トポロジーの関係としては, まず \(L^2\) 不変量を知っておくべきだろう。そのためには, まず群に対する group ring の拡張である group von Neumann algebra, そして von Neumann algebra 上の module の dimension が必要になる。

• group von Neumann algebra
• von Neumann dimension

von Neumann dimension は error-correcting code に関する Manin と Marcolli の [MM] でも使われている。

可換な \(C^{*}\)-algebra は全て compact Hausdorff 空間上の複素数値関数の成す環と同型になる, というのが, 有名なGel\('\)fand-Naimark duality であるが, 可換な von Neumann algebra も, ある measure space の上の bounded measurable function の成す algebra として特徴付けられる。 これについては, Pavlov の [Pav22] が詳しい。 このことから, 一般の von Neumann algebra を measure space の一般化として, 非可換幾何学 (非可換解析学?) の範疇で考えることもできる。

Center が自明なものを factor という。いくつかの型に分類されている。

• factor

Factor の unitary 群や automorphism group の位相については, Araki と Smith と Smith [ASS71] や Popa と Takesaki [PT93] により調べられている。 Kuiper の定理の類似として, unitary 群がいつ可縮になるかというのは自然な問題である。Araki と Smith と Smith は, type \(\textrm {II}_1\) factor の unitary group は operator norm topology で可縮ではなく, 基本群が \(\R \) であることを示している。 一方, Popa と Takesaki は, かなりの type \(\mathrm {II}_1\) factor について, その unitary group は strong operator topology で可縮になることを示している。

\(\textrm {II}_1\) factor の von Neumann algebra への inclusion を subfactor と言い, Bisch の [Bis02] によると Jones の [Jon83] は, その “Galois 理論”と考えられる, らしい。この Bisch の ICM 2002 の Proceedings は, 最近の subfactor の理論の状況を知るのによい。 Jones により [Jon21] で導入された, planar algebra という概念が subfactor の不変量を計算するために有効らしい。

• subfactor
• planar algebra
• Temperley-Lieb algebra
• Jones index

Subfactor と planar algebra については, Secret Blogging Seminar の Noah Snyder と Emily Peters による一連の解説もある。

Subfactor とトポロジーの関係については, とりあえず, Müger の [Müg03a; Müg03b] と, そこに挙げてある参考文献に目を通してみるとよい。Subfactor theory に現われる categorical structure について, 色々書いてある。

von Neumann algebra に起源を持つ代数的な条件で, 一般の環に定義されるようになったのものある。 von Neumann regular などである。

Subfactor の理論の “Galois 理論” としての面には古くから着目している人がいた。Bhattacharjee らの [BCG] では, Hayashi の [Hay99], Izumi と Longo と Popa の [ILP98], Nikshych と Vainerman の [NV02] が挙げられている。 同時に群では不十分で Hopf algebra を使うべきであることが, それより前に Ocneanu [Ocn88] により指摘されていることも書かれている。 Bhattacharjee らは, quantum Galois group という Hopf \(*\)-algebra を導入している。

von Neumann algebra の many-objectification として von Neumann category や \(W^*\)-category と呼ばれるものがある。

• von Neumann category

また von Neumann algebra に関連した概念として, conformal net というものがあるが, それに関連して Henriques [Hen] が bicommutant category という概念を導入している。

• conformal net
• bicommutant category

Bicommutant category は von Neumann algebra の categorification と考えら れるもののようである。Henriques は Penneys との共著 [HP17] で, fusion category から bicommutant category を作る方法について述べている。

References

[ASS71]

Huzihiro Araki, Mi-soo Bae Smith, and Larry Smith. “On the homotopical significance of the type of von Neumann algebra factors”. In: Comm. Math. Phys. 22 (1971), pp. 71–88.

[BCG]

Suvrajit Bhattacharjee, Alexandru Chirvasitu, and Debashish Goswami. Quantum Galois groups of subfactors. arXiv: 2101.05575.

[Bis02]

D. Bisch. “Subfactors and planar algebras”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Higher Ed. Press, Beijing, 2002, pp. 775–785. arXiv: math/0304340.

[Dix81]

Jacques Dixmier. von Neumann algebras. Vol. 27. North-Holland Mathematical Library. With a preface by E. C. Lance, Translated from the second French edition by F. Jellett. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1981, pp. xxxviii+437. isbn: 0-444-86308-7.

[Hay99]

Takahiro Hayashi. “Galois quantum groups of \(\mathrm {II}_1\)-subfactors”. In: Tohoku Math. J. (2) 51.3 (1999), pp. 365–389. url: https://doi.org/10.2748/tmj/1178224768.

[Hen]

André Henriques. What Chern-Simons theory assigns to a point. arXiv: 1503.06254.

[HM]

Hans Halvorson and Michael Mueger. Algebraic Quantum Field Theory. arXiv: math-ph/0602036.

[HP17]

André Henriques and David Penneys. “Bicommutant categories from fusion categories”. In: Selecta Math. (N.S.) 23.3 (2017), pp. 1669–1708. arXiv: 1511. 05226. url: https://doi.org/10.1007/s00029-016-0251-0.

[ILP98]

Masaki Izumi, Roberto Longo, and Sorin Popa. “A Galois correspondence for compact groups of automorphisms of von Neumann algebras with a generalization to Kac algebras”. In: J. Funct. Anal. 155.1 (1998), pp. 25–63. url: https://doi.org/10.1006/jfan.1997.3228.

[Jon21]

V. F. R. Jones. “Planar algebras, I”. In: New Zealand J. Math. 52 (2021), pp. 1–107. arXiv: math / 9909027. url: https://doi.org/10.53733/172.

[Jon83]

V. F. R. Jones. “Index for subfactors”. In: Invent. Math. 72.1 (1983), pp. 1–25. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01389127.

[MM]

Yuri I. Manin and Matilde Marcolli. Error-correcting codes and phase transitions. arXiv: 0910.5135.

[Müg03a]

Michael Müger. “From subfactors to categories and topology. I. Frobenius algebras in and Morita equivalence of tensor categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 180.1-2 (2003), pp. 81–157. arXiv: math/0111204. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00247-5.

[Müg03b]

Michael Müger. “From subfactors to categories and topology. II. The quantum double of tensor categories and subfactors”. In: J. Pure Appl. Algebra 180.1-2 (2003), pp. 159–219. arXiv: math/0111205. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00248-7.

[NV02]

Dmitri Nikshych and Leonid Vainerman. “Finite quantum groupoids and their applications”. In: New directions in Hopf algebras. Vol. 43. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002, pp. 211–262. arXiv: math/0006057.

[Ocn88]

Adrian Ocneanu. “Quantized groups, string algebras and Galois theory for algebras”. In: Operator algebras and applications, Vol. 2. Vol. 136. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988, pp. 119–172.

[Pav22]

Dmitri Pavlov. “Gelfand-type duality for commutative von Neumann algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.4 (2022), Paper No. 106884, 53. arXiv: 2005.05284. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2021.106884.

[PT93]

Sorin Popa and Masamichi Takesaki. “The topological structure of the unitary and automorphism groups of a factor”. In: Comm. Math. Phys. 155.1 (1993), pp. 93–101. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253201.

[SZ79]

Şerban Strătilă and László Zsidó. Lectures on von Neumann algebras. Revision of the 1975 original, Translated from the Romanian by Silviu Teleman. Editura Academiei, Bucharest; Abacus Press, Tunbridge Wells, 1979, p. 478. isbn: 0-85626-109-2.