Topological Field Theories

多様体を object とし, その間の cobordism を morphism とすると圏が得られる。また disjoint union により symmetric monoidal category になる。これを cobordism category という。

• cobordism category

現在では, そのような cobordism category から symmetric monoidal category になっている Abelian category へ の symmetric monoidal functor のことを topological field theory と言うようである。 解説も色々あるが, まずは Freed の [Fre13] を読むとよいと思う。 Quantum field theory に関する歴史的なことから, 最近の extended topological quantum field theory まで書いてある。 少し違ったアプローチとしては, Banagl [Ban15; Ban] による system of fields としての記述がある。 Banagl は, Freed の lecture notes [Fre93] と Kirk の lecture note [Kir10] を参照している。 より新しい Freed の lecture notes [Fre19] もある。

考える多様体や cobordism の種類とか値域の category を色々変えて, 様々な種類の topological field theory が得られる。

• topological quantum field theory
• conformal field theory
• open-closed field theory

紐や輪だけでなく, より一般の\(1\)次元 CW複体を particle として考えたものも考えられている。Network topological field theory というらしい。

• network topological field theory [Nat; VV]

Lurie (と Hopkins) によると, 高次元の場合はより詳しい categorical structure, つまり \(n\)-category を使う必要があるらしい。

• extended topological quantum field theory

Topological quantum field theory に現われる各種の圏論的概念や構成を概観したものとしては, Bartlett の Master’s thesis [Bar] がある。一方, conformal field theory の rigorous な定義の圏論的基礎となることを目指したのは, Fiore の [Fio06] である。

Turaev は, homotopy quantum field theory (HQFT) という概念を導入した。 多様体から固定したある background space への写像の cobordism を考えるもので, どちらかというと fiberwise quantum field theory と言った方が良さそうであるが, その写像の homotopy 類を考えているので homotopy と付いているようである。

• homotopy quantum field theory

Turaev の HQFT に対し, Castillo と Diaz は homological quantum field theory (HLQFT) という概念を [CDa] で提案している。

• homological quantum field theory

Chas と Sullivan の string topology に基づいたアイデアのようである。彼らはそれに関連して [CD07] で行列の “higher dimensional homological analogue” を定義している。 [CDb] では, \(2\)次元の HLQFT を調べる過程で Riemann 面から多様体への写像の成す空間を調べている。 String topology の2次元版として membrane topology と呼んでいる。

代数的トポロジーとの関係では, topological field theory から cohomology theory を構成しようというアイデアがある。例えば, Stolz と Teichner は, Hohnhold らと一緒に supersymmmetric Euclidean field theory を用いて elliptic cohomology を構成しようとしている。その project の現時点でのまとめが [ST11] である。

• cohomology from topological field theory

Noncommutative topological field theory を定義しようという試みもある。 Zois [Zoi] の Introduction や Mahanta [Mah] の §4 などに noncommutative topological field theory が必要な理由が書いていある。まだ定式化はされていないようであるが。

• noncommutative topological field theory

Discrete なモデルを構成することにより, topological field theory に関する具体的なデータを計算するというアイデアもある。そのためには, 多様体を単体分割して考えるので, Mnëv は simplicial program [Mnë09; Mne] と呼んでいる。 もともとは, Andrei Losev のアイデアらしい。

References

[Ban]

Markus Banagl. High-Dimensional Topological Field Theory, Positivity, and Exotic Smooth Spheres. arXiv: 1508.01337.

[Ban15]

Markus Banagl. “Positive topological quantum field theories”. In: Quantum Topol. 6.4 (2015), pp. 609–706. arXiv: 1303.4276. url: https://doi.org/10.4171/QT/71.

[Bar]

Bruce H. Bartlett. Categorical Aspects of Topological Quantum Field Theories. arXiv: math/0512103.

[CDa]

Edmundo Castillo and Rafael Diaz. Homological Quantum Field Theory. arXiv: math/0509532.

[CDb]

Edmundo Castillo and Rafael Diaz. Membrane Topology. arXiv: math/0612218.

[CD07]

Edmundo Castillo and Rafael Díaz. “Homological matrices”. In: Geometric and topological methods for quantum field theory. Vol. 434. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, pp. 181–191. arXiv: math/0510443. url: https://doi.org/10.1090/conm/434/08347.

[Fio06]

Thomas M. Fiore. “Pseudo limits, biadjoints, and pseudo algebras: categorical foundations of conformal field theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 182.860 (2006), pp. x+171. arXiv: math/0408298.

[Fre13]

Daniel S. Freed. “The cobordism hypothesis”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 50.1 (2013), pp. 57–92. arXiv: 1210.5100. url: https://doi.org/10.1090/S0273-0979-2012-01393-9.

[Fre19]

Daniel S. Freed. Lectures on field theory and topology. Vol. 133. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences. American Mathematical Society, Providence, RI, 2019, pp. xi+186. isbn: 978-1-4704-5206-3. url: https://doi.org/10.1090/cbms/133.

[Fre93]

Daniel S. Freed. “Lectures on topological quantum field theory”. In: Integrable systems, quantum groups, and quantum field theories (Salamanca, 1992). Vol. 409. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993, pp. 95–156.

[Kir10]

Paul Kirk. “The impact of QFT on low-dimensional topology”. In: Geometric and topological methods for quantum field theory. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010, pp. 1–53. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511712135.002.

[Mah]

Snigdhayan Mahanta. Higher nonunital Quillen \(K'\)-theory, \(KK\)-dualities and applications to topological \(\mathbb {T}\)-dualities. arXiv: 1503.06404.

[Mne]

Pavel Mnev. Discrete BF theory. arXiv: 0809.1160.

[Mnë09]

P. Mnëv. “Notes on simplicial BF theory”. In: Mosc. Math. J. 9.2 (2009), 371–410, back matter. arXiv: hep-th/0610326.

[Nat]

S. M. Natanzon. Cyclic Foam Topological Field Theories. arXiv: 0712.3557.

[ST11]

Stephan Stolz and Peter Teichner. “Supersymmetric field theories and generalized cohomology”. In: Mathematical foundations of quantum field theory and perturbative string theory. Vol. 83. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, pp. 279–340. arXiv: 1108.0189. url: https://doi.org/10.1090/pspum/083/2742432.

[VV]

E. Verlinde and M. Vonk. String networks and supersheets. arXiv: hep-th/0301028.

[Zoi]

I. P. Zois. Noncommutative Topological Quantum Field Theory-Noncommutative Floer Homology. arXiv: hep-th/0510005.