Cobordism Categories

多様体を object とし, 2つの多様体の間の cobordism を morphism とすると, category ができる。このようなものを cobordism category という。 Topological quantum field theory (TQFT) の functorial formalism での定義域として使われる。

Grandis は cobordism category のようなものを扱うための構造として, cospan, そしてその高次元版を [Gra07b; Gra07a; Gra08] で考えている。

例えば, \(1\)次元多様体の cobordism category では, objectは \(1\) 次元閉多様体, つまり \(S^1\) の有限個の disjoint union であり, morphism は穴の空いた曲面 (Riemann面) である。

Cobordism category についての文献としては, Tillmann の [Til96; Til97], そしてそれを発展させた [BCR06] がある。 簡単な解説なら, Freed の [Freb] のような, topological quantum field theory に関連した解説にもあるが。

Small category なので, その分類空間が定義できるが, 閉多様体の cobordism category の分類空間のホモトピー型については, Galatius と Madsen と Tillmann と Weiss [Gal+09] により, 調べられている。それによると, ある種の Thom spectrum になっているらしい。

• Madsen-Tillmann spectrum

Galatius らの結果は, cobordism category の分類空間が Madsen-Tillmann spectrum の \(0\)番目の空間と弱ホモトピー同値であることであるが, cobordism category の分類空間に, 無限ループ空間の構造を定義し, 無限ループ空間として弱ホモトピー同値であることを示すこともできる。Hoang Kim Nguyen の [Ngu17] である。

Galatius, Madsen, Tillmann, Weiss の仕事では cobordism category 上の sheaf などの概念が使われているが, それには 物理学的な意味もあるようである。Madsen-Tillmann spectrum は, Freed の [Frea] で, 物性理論に使うことが提案されている。

境界付きの場合は, open-closed cobordism category というものもある。 Hambury の[Han09] に, その定義と分類空間の homotopy type についての考察がある。 その拡張として defect を持つ cobordism category というのもある。これも TQFT の変種を定義するために Davydov, Kong, Runkel の[DKR11] で導入された。 Carqueville の lecture note [Car] もある。

• open-closed cobordism category
• cobordism category with defect

Cobordism category では, 自然に高次の圏の構造が現れる。 一つの方法は, cobordism の間の smooth map を \(2\)-morphism として, \(2\)-category (bicategory) にすることである。 もう一つの方法は, Hopkins と Lurie の extended TQFT のように, cobordism の間の cobordism, そして更にその間の cobordism \(\cdots \) を考え, cobordism category を拡張することである。 更に, それに cobordism の間の smooth map を追加することもできる。

このように高次の圏として定義するためには, その高次の圏のモデルを何にするかが問題になるが, Hopkins と Lurie は, ホモトピー論を用いた \((\infty ,n)\)-category を使うことを提案している。 そして, \((\infty ,n)\)-categoryとしての cobordism category の構成は, Calaque と Scheimbaur [CS] により与えられている。 彼等は, \(n\)-fold complete Segal space を用いている。

ただし, 3次元までなら \((\infty ,n)\)-category に依らない, より古典的なアプローチがある。実際, Schommer-Pries は [Sch09] で2次元の extended cobordism category を symmetric monoidal bicategory として構築している。

Symplectic 多様体などの「構造を持った多様体」の成す cobordism category の定義, そしてその分類空間のホモトピー型についても Ayala [Aya09] が調べている。

Cobordism に関しては, 古くから特異点を持つ場合も考えられてきた。 Cobordism category についても特異点を持つ場合が考えられている。Sadykov の [Sad] で, topological category として構成されている。Perlmutter [Perb; Pera] は, Baas-Sullivan construction に現われる特異点を持つ多様体の cobordism category を考え, その分類空間のホモトピー型を Thom spectrum として決定している。

Poincaré の ホモロジーのアイデアは, 本質的には, 部分多様体の間の cobordism であり, それを数学的に定式化する過程で, chain complex という概念が導入されたことを考えると, cobordism category の chain version があっても良さそうである。実際, Lerman と Malkin が [LM08] で考えている。

群作用を持つ場合も考えられている。Segovia の [Seg] とそこに挙げられている文献を見るとよい。

• \(G\)-cobordism category

他にも様々な変種が考えられている。

• Gómez López [Lop] による PL版
• Raptis と Steimle [RS17] による parametrized版
• Raptis と Steimle [RS21] による \(h\)-cobordism category
• Ebert と Randal-Williams [ER19] positive scalar curvature metric を持つ多様体の cobordism category を考えている。
• Steimle [Ste21] によると, Poincaré chain complex やその一般化の cobordism category は, Hebestreit と Steimle の preprint で考えられているらしい。
• Waldhausen category から cobordism category のようなものを作ることを Raptis と Steimle [RS19] が提案している。 できたものは, Waldhausen \(S\)-construction と基本的に同じホモトピー型を持つようである。

References

[Aya09]

David Ayala. Geometric cobordism categories. Thesis (Ph.D.)–Stanford University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2009, p. 166. isbn: 978-1109-24281-2. arXiv: 0811.2280.

[BCR06]

Nils A. Baas, Ralph L. Cohen, and Antonio Ramı́rez. “The topology of the category of open and closed strings”. In: Recent developments in algebraic topology. Vol. 407. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 11–26. arXiv: math/ 0411080. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/407/07669.

[Car]

Nils Carqueville. Lecture notes on 2-dimensional defect TQFT. arXiv: 1607.05747.

[CS]

Damien Calaque and Claudia Scheimbauer. A note on the \((\infty ,n)\)-category of cobordisms. arXiv: 1509.08906.

[DKR11]

Alexei Davydov, Liang Kong, and Ingo Runkel. “Field theories with defects and the centre functor”. In: Mathematical foundations of quantum field theory and perturbative string theory. Vol. 83. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, pp. 71–128. arXiv: 1107.0495. url: https://doi.org/10.1090/pspum/083/2742426.

[ER19]

Johannes Ebert and Oscar Randal-Williams. “Infinite loop spaces and positive scalar curvature in the presence of a fundamental group”. In: Geom. Topol. 23.3 (2019), pp. 1549–1610. arXiv: 1711. 11363. url: https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.1549.

[Frea]

Daniel S. Freed. Short-range entanglement and invertible field theories. arXiv: 1406.7278.

[Freb]

Daniel S. Freed. The cobordism hypothesis. arXiv: 1210.5100.

[Gal+09]

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[Gra07a]

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[Gra07b]

Marco Grandis. “Higher cospans and weak cubical categories (cospans in algebraic topology. I)”. In: Theory Appl. Categ. 18 (2007), No. 12, 321–347.

[Gra08]

Marco Grandis. “Cubical cospans and higher cobordisms (cospans in algebraic topology. III)”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 3.1 (2008), pp. 273–308. arXiv: 0806.2359.

[Han09]

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[LM08]

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[Lop]

Mauricio Gomez Lopez. The homotopy type of the PL cobordism category. I. arXiv: 1608.06236.

[Ngu17]

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[Pera]

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[Perb]

Nathan Perlmutter. Cobordism Category of Manifolds With Baas-Sullivan Singularities, Part I. arXiv: 1212.6422.

[RS17]

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George Raptis and Wolfgang Steimle. “A cobordism model for Waldhausen \(K\)-theory”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 99.2 (2019), pp. 516–534. arXiv: 1711.08779. url: https://doi.org/10.1112/jlms.12182.

[RS21]

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[Sad]

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[Sch09]

Christopher John Schommer-Pries. The classification of two-dimensional extended topological field theories. Thesis (Ph.D.)–University of California, Berkeley. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2009, p. 254. isbn: 978-1109-46779-6. arXiv: 1112. 1000.

[Seg]

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[Ste21]

Wolfgang Steimle. “An additivity theorem for cobordism categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 21.2 (2021), pp. 601–646. arXiv: 1805. 04100. url: https://doi.org/10.2140/agt.2021.21.601.

[Til96]

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[Til97]

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