高次の圏での monoidal structure

高次の圏での monoidal 構造は非常に複雑である。

Kapranov と Voevodsky の [KV94] に monoidal \(2\)-category の定義があるが, その定義だけで12ページを使っている。その後, Day と Street の [DS97] が出たが, そこにあるように strict 化して Gray-monoid として扱うのが楽である。

• monoidal \(2\)-category あるいは monoidal bicategory
• Gray-monoid

Monoidal bicategory は Gordon と Power とStreet [GPS95] の tricategory で object が1つのものと考えることができる。Gray-monoid を monoidal bicategory のモデルとみなすのは, この視点に基づいている。

Monoidal bicategory の文献としては, Day と Street の [DS97] 以外には, Douglas と Reutter の [DR], Ahmadi の [Ahm], Stay の [Sta16] などがある。 「Object 1つの tricategory」という狡い定義ではない具体的な定義は Stay の論文にある。

Monoidal bicategory は, 代数的トポロジーでも次第に使われるようになってきた。例えば symmetric monoidal category と infinite loop space との関連を symmetric monoidal bicategory に拡張したものとして, Osorno の [Oso12] がある。

• symmetric monoidal bicategory

Symmetric monoidal bicategory は単なる monoidal bicategory より更に構造が複雑である。Monoidal bicategory も含めて, Schommer-Pries の thesis [Sch09] にまとめらているので, まずはこれに目を通すべきだろう。

そこでは, quasistrict symmetric monoidal bicategory という strict版が導入されている。

• quasistrict symmetric monoidal bicategory

その定義を wired diagram という図式を用いて言い換え, 任意の symmetric monoidal bicategory は quasistrict なものに同値である, という Schommer-Pries の結果を解説したものとして, Bartlett の [Bar] がある。

Symmetric monoidal category の switching が involution であるという条件を弱めて braided monoidal category が得られるように, braided monoidal bicategory を定義しようという試みも Kapranov と Voevodsky [KV94] が始めている。 その後 Baez と Neuchl [BN96], Crans [Cra98] で定義が改良されている。

Stay [Sta16] によると sylleptic monoidal bicategory や symmetric monoidal bicategry も含んだ最も一般的な定義は McCrudden の [McC00] を見るのが良さそうである。

• sylleptic monoidal bicategory

更に, monoidal category が object \(1\)つの bicategory, つまり bicategory は monoidal category の“many objects” 版であることから, symmetric monoidal category の “many objects” 版も考えられている。May と Sigurdsson の [MS06] の Chapter 16 で symmetric bicategory として定義されている。

• symmetric bicategory

Symmetric monoidal bicategory と混同しそうな名前であるが。

その次, monoidal tricategory は object 1つの tetracategory とみなすべきだろう。 これについては, Hoffnung の [Hof] に tetracategory の定義も含めて詳しく書かれている。

• monoidal tricategory

\((\infty ,1)\)-category での monoidal structure については, Lurie が考えている。 最近の [Lurb] にも書いてあるが, とりあえず, [Lura] を見るのがよいと思う。 基本的なアイデアは, May と Thomason が [MT78] で導入した, monoidal category \((\bm {V},\otimes ,1)\) とある条件をみたす opfibration (cofibered category) \(p: \bm {V}^{\otimes }\to \Delta ^{\op }\) を同一視する手法を用いるものである。 この \(\bm {V}^{\otimes }\) は category of operations と呼ばれている。

• monoidal \((\infty ,1)\)-category
• symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category

この構成 \(\bm {V}^{\otimes }\) は, multicategory に対する構成とみなすのが本質的である。May と Thomason の構成は, monoidal category を multicategory とみなし, それに対する category of operations を取っているのである。 Lurie は multicategory ではなく, \(\infty \)-operad と呼んでいるが。

\((\infty ,1)\)-category の文脈で, 複数の monoidal structure を持つ category を考えることもできる。Torii の [Tor] など。

Monoidal bicategory では, monoidal category での monoid object に対応するものに strict な結合法則を要求するのは不自然であり, それを \(2\)-morphism で弱めた概念が考えられている。Chikhladze と Lack と Street の [CLS10] で は monoidale と呼ばれている。

• monoidale

Small category の成す monoidal bicategory での monoidale が (small) monoidal category なので, monoidale は monoidal category の一般化と考えることができる。

Monoidale の skew-monoidal category 版である skew-monoidale は, Lack と Street [LS12] により導入された。

• skew-monoidale

References

[Ahm]

Fatimah Ahmadi. Monoidal 2-Categories: A Review. arXiv: 2011.02830.

[Bar]

Bruce Bartlett. Quasistrict symmetric monoidal 2-categories via wire diagrams. arXiv: 1409.2148.

[BN96]

John C. Baez and Martin Neuchl. “Higher-dimensional algebra. I. Braided monoidal \(2\)-categories”. In: Adv. Math. 121.2 (1996), pp. 196–244. arXiv: q-alg/9511013. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1996.0052.

[CLS10]

Dimitri Chikhladze, Stephen Lack, and Ross Street. “Hopf monoidal comonads”. In: Theory Appl. Categ. 24 (2010), No. 19, 554–563. arXiv: 1002.1122.

[Cra98]

Sjoerd E. Crans. “Generalized centers of braided and sylleptic monoidal \(2\)-categories”. In: Adv. Math. 136.2 (1998), pp. 183–223. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1720.

[DR]

Christopher L. Douglas and David J. Reutter. Fusion 2-categories and a state-sum invariant for 4-manifolds. arXiv: 1812.11933.

[DS97]

Brian Day and Ross Street. “Monoidal bicategories and Hopf algebroids”. In: Adv. Math. 129.1 (1997), pp. 99–157. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1649.

[GPS95]

R. Gordon, A. J. Power, and Ross Street. “Coherence for tricategories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 117.558 (1995), pp. vi+81. url: https://doi.org/10.1090/memo/0558.

[Hof]

Alexander E. Hoffnung. Spans in \(2\)-Categories: A monoidal tricategory. arXiv: 1112.0560.

[KV94]

M. M. Kapranov and V. A. Voevodsky. “\(2\)-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations”. In: Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991). Vol. 56. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 177–259.

[LS12]

Stephen Lack and Ross Street. “Skew monoidales, skew warpings and quantum categories”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 15, 385–402. arXiv: 1205.0074. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.07.003.

[Lura]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry III: Commutative Algebra. arXiv: math/0703204.

[Lurb]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[McC00]

Paddy McCrudden. “Balanced coalgebroids”. In: Theory Appl. Categ. 7 (2000), No. 6, 71–147.

[MS06]

J. P. May and J. Sigurdsson. Parametrized homotopy theory. Vol. 132. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006, pp. x+441. isbn: 978-0-8218-3922-5; 0-8218-3922-5. url: https://doi.org/10.1090/surv/132.

[MT78]

J. P. May and R. Thomason. “The uniqueness of infinite loop space machines”. In: Topology 17.3 (1978), pp. 205–224. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(78)90026-5.

[Oso12]

Angélica M. Osorno. “Spectra associated to symmetric monoidal bicategories”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.1 (2012), pp. 307–342. arXiv: 1005.2227. url: https://doi.org/10.2140/agt.2012.12.307.

[Sch09]

Christopher John Schommer-Pries. The classification of two-dimensional extended topological field theories. Thesis (Ph.D.)–University of California, Berkeley. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2009, p. 254. isbn: 978-1109-46779-6. arXiv: 1112.1000.

[Sta16]

Michael Stay. “Compact closed bicategories”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 26, 755–798. arXiv: 1301.1053.

[Tor]

Takeshi Torii. On duoidal \(\infty \)-categories. arXiv: 2106.14121.