Cohomology from TQFT

Homology や cohomology は, 元々は幾何学的な構造を元に定義されていたが, 代数的トポロジーでは, 1960年代あたりから, 公理的に扱われるようになった。 そして, 新しい (co)homology やそれを表現する spectrum の構成も, 形式的な操作で行なわれるようになった。例えば, Landweber の exact functor theorem や, 最近では, Goerss-Hopkins-Miller theorem による tmf の構成など。

しかしながら, 実際の問題に使うときには, その元の幾何学的意味が分かっていた方がよい。 そのためには, (co)homology の幾何学的構成が欲しい。

特に, tmf や elliptic cohomology については, その発見以来, 最大の課題は幾何学的な構成を見付けることである。残念ながら, まだ決定版と言えるものは発見されていないが, 一つの有力な候補として Stolz と Teichner の提唱している supersymmetric topological quantum field theory を用いたものがある。

• Euclidean field theory

Elliptic cohomology と良く比較されるのが, de Rham cohomology と \(K\)-theory の場合であるが, それは安定ホモトピー論における \(v_n\) 周期性 の視点からは, elliptic cohomology が rational cohomology, \(K\)-theory と並ぶ cohomology theory の列の次にあるからである。

当然, もし ellpitic cohomology を構成する方法があれば, それと類似の (より単純な) 方法で, de Rham cohomology や \(K\)-theory が構成できるはずであるが, de Rham cohomology については, Hohnhold と Kreck と Stolz と Teichner が [Hoh+11] で構成している。

Schommer-Pries と Stapleton [SS21] は, より精密に rational homotopy theory の Sullivan model が \(0|1\)-supersymmetric TQFT として解釈できると言っている。

\(K\)-theory の場合は, Hohnhold と Stolz と Teichner の [HST10] で証明されている。

Berwick-Evans [Ber16] は, \(L\)-theory (に \(\otimes \bbC \) したもの) が \(1|2\)-supersymmetric Euclidean field theory により構成できることを示している。

Berwick-Evans は, Pavlov と共に [BP23] で, 1次元 smooth topological field theory と vector bundle の関係を証明している。

References

[Ber16]

Daniel Berwick-Evans. “Perturbative \(N=2\) supersymmetric quantum mechanics and L-theory with complex coefficients”. In: Lett. Math. Phys. 106.1 (2016), pp. 109–129. arXiv: 1501.03201. url: https://doi.org/10.1007/s11005-015-0808-4.

[BP23]

Daniel Berwick-Evans and Dmitri Pavlov. “Smooth one-dimensional topological field theories are vector bundles with connection”. In: Algebr. Geom. Topol. 23.8 (2023), pp. 3707–3743. arXiv: 1501. 00967. url: https://doi.org/10.2140/agt.2023.23.3707.

[Hoh+11]

Henning Hohnhold, Matthias Kreck, Stephan Stolz, and Peter Teichner. “Differential forms and 0-dimensional supersymmetric field theories”. In: Quantum Topol. 2.1 (2011), pp. 1–41. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/12.

[HST10]

Henning Hohnhold, Stephan Stolz, and Peter Teichner. “From minimal geodesics to supersymmetric field theories”. In: A celebration of the mathematical legacy of Raoul Bott. Vol. 50. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2010, pp. 207–274.

[SS21]

Christopher Schommer-Pries and Nathaniel Stapleton. “Singular cohomology from supersymmetric field theories”. In: Adv. Math. 390 (2021), Paper No. 107944, 52. arXiv: 1403 . 1303. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107944.