手術の理論

微分トポロジー (最近では geometric topology と呼ぶことが多くなったが) における大きな理論の一つが手術 (surgery) の理論である。

基本的な問題は, 与えられた位相空間が 多様体のホモトピー型を持つか, あるいは, ある 多様体と homotopy 同値や simple homotopy 同値になる多様体がどれぐらいあるかを考えることである。 そのため, 手術の理論ではホモトピー論のテクニックが重要な役割を果す。 John Klein の [Kle07] の Introduction にもあるように, ホモトピー論の進歩により, かつては手が出なかった, あるいは多様体の理論に頼らざるを得なかった証明が, ホモトピー論だけでできるようになっている。この John Klein の論文では, finitely dominated Poincaré duality space の間の Poincaré embedding の存在と一意性がホモトピー論的に証明してある。

このように, 90年代に入ってからのホモトピー論的な手法による進歩が著しいため, 基本的な文献として何を挙げるべきかよくわからない。 70年代の手術の理論についてなら, Wall の本 [Wal99] があるが。これは最近 AMS から再版されて, 入手しやすくなった。 Ferry, Ranicki, Rosenberg の Novikov 予想の歴史に関する [FRR95] には, surjery の歴史についても書かれているので, まずは, これを読んでみてもよいと思う。 最近の解説としては, Lück の [Lüc02] や Lurie の lecture notes [Lur] がある。 Lück と Macko の本 [LM24] も出た。

まず位相空間が 多様体とホモトピー同値になるためには, 多様体の持つホモトピー論的な性質を持っている必要がある。 例えば, ホモロジーが Poincré duality を満たす必要がある。 考えるのは有限次元多様体なので, ある種の有限性も必要である。

• Poincaré duality space
• finitely dominated space

Wall の finiteness obstruction [Wal65; Wal66b] については, Pedersen の解説 [Ped17] がある。

次に与えられた多様体 \(X\) とホモトピー同値な同じ次元の多様体 \(M\) があるときに, それが同相か, PL同相か, 微分同相かという問題がある。それを考えるために, \(X\) を固定し, ホモトピー同値写像 \(M\to X\) の集合をホモトピー同値写像と compatible な同相 (PL同相, 微分同相) 写像が存在するという同値関係で割った集合を考える。このような集合を structure set という。 定義は, Lück と Macko の本 [LM24] の Chapter 11 にある。

• structure set

この集合を調べるための surgery exact sequence という完全列がある。

• Wall の \(L\)-group
• 球面のself-homotopy equivalence, 自己同相, 自己PL同相, 自己微分同相写像の成す topological monoid \(G(n)\), \(\mathrm {Top}(n)\), \(\mathrm {PL}(n)\), \(\mathrm {Diff}(n)\) とその分類空間に associate した 無限ループ空間 \(BG\), \(B\mathrm {Top}\), \(B\mathrm {PL}\), \(B\mathrm {Diff}\)
• surgery exact sequence

\(G\) は球面の自己ホモトピー同値を表すが, この記号は一般の群を表すのにも 使われるのであまり良くないと思う。 \(BG\), \(B\mathrm {Top}\), \(B\mathrm {PL}\) などは, \(B\mathrm {Top}(n)\) や \(B\mathrm {PL}(n)\) などから homotopy theoretic group completion により作られるので, group completion theorem により, 無限ループ空間になることが分かる。

この MathOverflow の質問に対する Peter May の comment によると, \(B\mathrm {Top}(n)\) や関連した空間については, 分かっていないことが色々あるようである。 コホモロジーも分かっていないらしい。

Wall の surgery exact sequecne は, Quinn や Ranicki により spectrum の言葉に書き直されている。

• Quinn の bordism-type spectrum [Qui70; Qui95]
• Ranicki の algebraic surgery exact sequence [Ran79; Ran81]
• Hambelton と Kharshiladze の surgery spectral sequence [KK92]

Laures と McClure [LM14] は, Quinn の bordism-type spectrum を symmetric spectrum と関連づけようとしている。

Jimenez と Muranov と Repovš の [JMR] は, surgery spectral sequence の構成に現われる spectrum の filtration に対し, 幾何学的意味付けを行なおう, という試みである。

手術の理論では, とりあえず CW 複体を作っておいて, それとホモトピー同値になる多様体を探す, ということも行なう。 CW 複体と simple homotopy 同値になる \(n\)次元多様体 (とそのホモトピー同値写像の組) を \(n\)-thickening と呼ぶが, Aouina ら [AK06; Aou12] は, \(n\)-thickening の成す空間 (moduli space) を調べている。

• 有限CW複体の \(n\)-thickening
• \(K\) の \(n\)-thickening の同値類の成す集合 \(\mathcal {T}_n(X)\)
• \(\mathcal {T}_n(X)\) に関する Wall の suspension theorem [Wal66a; AK06]
• \(5\)次元以上の Poincaré duality complex は total surgery obstruction が消えれば, compact 多様体とホモトピー同値になる。(Ranicki の [Ran79])

Hegenbarth と Repovš の [HR06] は, この Ranicki の結果を \(4\) 次元に拡張しようという試みである。

手術の理論と関連して controlled topology という分野がある。そのために Quinn が [Qui79; Qui82] で導入したのが controlled algebra である。様々な概念の controlled version を作ろうという試みがあるが, algebraic \(K\)-theory の controlled version が Quinn により [Qui12] で提案されている。 それ以前は, controlled algebraic \(K\)-theory がなかったため, その代わりに pseudo-isotopy を用いて議論されていたが, それらの議論を全て置き換えることを目指しているようである。

References

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