Poincare Duality and Poincare Duality Space

多様体の cohomology に関する性質の中で, 最も基本的なのが, Poincaré duality である。

• Poincaré duality

代数的トポロジーの視点からは, それを抽象化して “Poincaré duality を持つ空間”を定義し, 調べようというのは自然なアイデアである。 多様体の手術の理論と関連が深いので, その周辺の文献を見るのが良いだろう。まずは Wall の [Wal99] だろうか。

Klein と Qin と Su の [KQS22] によると, 最初に考えたのは Browder [Bro62; Bro95] のようである。その後 Spivak [Spi67] により別の定義が提案された。また Wall [Wal67] により Poincaré pair が導入された。Klein らはこれらの定義を再考察している。

• Poincaré duality space
• Poincaré pair

Poincaré duality space は, top cell が1つである CW複体のホモトピー型を持つが, その top cell を除いた複体 の suspension に top cell を 貼付けて Poincaré duality space にできるか, という問題を考えたのが Klein と Richter の [KR11] である。古い version では Weiss の orthogonal calculus が使われていたが, 新しいもの (version 3) では使われなくなったようである。その続編 [KR10] も出た。

Poincaré (duality) space に対しては, 多様体に関する様々な概念が拡張できることが多い。 John Klein は [Kle05] で, 多様体の間の submersion を Poincaré space に一般化し Poincaré submersion の概念を定義している。また [Kle08] では, diagonal map \(M \to M\times M\) が Poincaré embedding であるための obstruction を求めている。

Klein は [Kle17] では, Goodwillie-Weiss の embedding calculus の Poincaré duality space への一般化を考えている。

Rational homotopy theory の視点からは, Poincaré duality を持つ (commutative) dg algebra を “Poincaré duality space” とみなすのが自然である。Lambrecht と Stanley [LS08] は, コホモロジーが Poincaré duality を持つような commutative dg algebra は Poincaré duality を持つ commutative dg algebra と weakly equivalent であることを示している。

Poincaré duality space を含む空間の class として Gorenstein space というものがある。Felix と Halperin と Thomas により [FHT88] で導入された。Felix と Thomas は [FT09] でその上の string topology を考えている。

• Gorenstein space

単連結でない空間を扱うには, コホモロジーを局所係数にすることが考えられる。 例えば, Bieri と Eckmann の [BE73] の §6.2 で考えられている duality complex がある。 Denham, Suciu, Yuzvinsky [DSY17] は 基本群そのものでなく, 基本群のアーベル化を用いたものを Abelian duality と呼び, 調べている。

多様体でない空間を考えるので, intersection homology を用いるのは自然なアイデアであるが, intersection homology に関して Poincaré duality をみたす空間としては, Siegel [Sie83] により考えられた, Witt space というものがある。

• Witt space

一般(コ)ホモロジー論に関する Poincaré duality の類似については, stable homotopy category に持っていくのが一つの方法である。Atiyah [Ati61] は, その際に Thom complex を用いるとよいことに気がついた。 この stable homotopy category での duality は Atiyah duality と呼ばれることが多いようである。

• Atiyah duality

Stratified pseudomanifold については, \(K\)-theory に関する duality を Debord と Lescure [DL05; DL09] が考えている。

別の方向では, Greenlees と Sadofsky の [GS96] がある。 そこでは, 有限群の分類空間について, Morava \(K\)-theory に関して Poincaré duality の類似が成り立つことが示されている。Cheng [Che] は, その orbifold への一般化, そして更に stack の Spanier-Whitehead duality への一般化を考えている。

関連した場合として, 群の作用を持つ多様体のときを Arabia [Ara; Ara21] が考えている。

Ksouri [Kso16] は small category で cohomology と homology が Poincaré duality の類似を持つものについて考えている。

References

[Ara]

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[Ara21]

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