λ-ring

\(\lambda \)-ring は, Grothendieck [Gro58] が \(K\)-theory で exterior power により定義される作用素 (Adams operatin) を考えるために導入した。 \(\Lambda \)-ring と書くのがよいのか, \(\lambda \)-ringと書くのがよいのか。 ここでは小文字を使うことにする。Adams operation が書いてある \(K\)-theory の本なら大抵書いてあると思う。 日本語なら [荒木捷75] に少し書いてある。Atiyah と Tall の [AT69] にも基本的なところがまとめられている。 Guillot [Gui] は, Atiyah と Tall の他に, Knutson の [Knu73] と Patras の [Pat03] を参照している。

• \(\lambda \)-ring
• special \(\lambda \)-ring

例としては, Grothendieck group 以外に, 位相空間の \(K\)-theory, コンパクト群の表現環, 可換環の universal Witt ring などがある。 代数的\(K\)理論についても, 様々な人が構成を行なっている。

• \(\lambda \)-operations on algebraic \(K\)-theory

純粋に代数的に \(\lambda \)-ring を調べることも行なわれている。例えば, [Yau05] では, \(\lambda \)-ring の cohomology や Gerstenhaber 流の deformation theory が考察されている。

Borger と de Smit は [BS08] で, \(K\)-theory 関係以外で \(\lambda \)-ring が登場するのは, Clauwens の [Cla94] ぐらいだと書いている。その Borger は, \(\F _1\) 上の代数幾何を \(\lambda \)-ring を用いて構築することを考えている。 \(\F _1\) のような仮想的なものを使わず, 明確に定義されたもので記述できるところは良さそうである。

Borger らが着目したのは, Wilkerson [Wil82] による \(\lambda \)-structure の特徴付けのようである。つまり Frobenius operation の lift である。よって, ring of Witt vectors とも関係がある

位相空間の \(K\)-theory は自然な filtration を持つ。そして filtered \(\lambda \)-ring というものになる。

• filtered \(\lambda \)-ring

References

[AT69]

M. F. Atiyah and D. O. Tall. “Group representations, \(\lambda \)-rings and the \(J\)-homomorphism”. In: Topology 8 (1969), pp. 253–297.

[BS08]

James Borger and Bart de Smit. “Galois theory and integral models of \(\Lambda \)-rings”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 40.3 (2008), pp. 439–446. arXiv: 0801.2352. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdn024.

[Cla94]

F. J. B. J. Clauwens. “Commuting polynomials and \(\lambda \)-ring structures on \(\mathbf {Z}[x]\)”. In: J. Pure Appl. Algebra 95.3 (1994), pp. 261–269. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)90061-2.

[Gro58]

Alexander Grothendieck. “La théorie des classes de Chern”. In: Bull. Soc. Math. France 86 (1958), pp. 137–154.

[Gui]

Pierre Guillot. Adams operations in cohomotopy. arXiv: math / 0612327.

[Knu73]

Donald Knutson. \(\lambda \)-rings and the representation theory of the symmetric group. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 308. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973, pp. iv+203.

[Pat03]

Frédéric Patras. “Lambda-rings”. In: Handbook of algebra, Vol. 3. Vol. 3. Handb. Algebr. Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2003, pp. 961–986. url: https://doi.org/10.1016/S1570-7954(03)80077-3.

[Wil82]

Clarence Wilkerson. “Lambda-rings, binomial domains, and vector bundles over \(\mathbf {C}P(\infty )\)”. In: Comm. Algebra 10.3 (1982), pp. 311–328. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927878208822717.

[Yau05]

Donald Yau. “Cohomology of \(\lambda \)-rings”. In: J. Algebra 284.1 (2005), pp. 37–51. arXiv: math/0501512. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2004.10.010.

[荒木捷75]

荒木捷朗. 一般コホモロジー. Vol. 4. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1975.