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Grothendieck group 上に exterior power を用いて作用素を構成することは Grothendieck [Gro58]
が考えたことであるが, 当然様々な \(K\)-theory に拡張することが考えられている。
もちろん algebraic \(K\)-theory への拡張も多くの人により古くから行なわれている。 これまで知られている構成については, Köck と
Zanchetta の [KZ] の Introduction を見るのがよい。 それを引用すると以下のようになる。
- Hiller の構成 [Hil81].
- Kratzer の構成 [Kra80].
- Soulé の構成 [Sou85] とその Gillet と Soulé による一般化 [GS99].
- Grayson の構成 [Gra89].
- Nenashev の構成 [Nen91].
- Levine の構成 [Lev97].
- Riou の構成 [Rio10].
- Harris, Köck, Taelman [HKT17] の Grayson による higher algebraic \(K\)-theory
の生成元と関係式による記述を用いたもの
- Zanchetta の構成 [Zan21].
- Barwick, Glasman, Mathew, Nikolaus の構成 [Bar+].
Köck と Zanchetta [KZ] は, これらが一致することを証明している。
この中で, Hiller のものは, 実質的には Quillen によるもののようである。 論文の最後で, section 6 から 8
は自分の Ph.D. thesis の内容で, それ以外, つまり section 1 から 5 は Quillen の仕事の解説である,
と書いている。
Hiller は, Adams operation を用いて \(\F _{p}\) 上の perfect algebra の algebraic \(K\)-theory が \(\Z [\frac {1}{p}]\)-module
であることを示している。
他にも, Feliu [Fel10] による rational algebraic \(K\)-theory の McCarthy による chain model
[McC97] の上の Adams operation を誘導する写像の構成などもある。
References
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[Bar+]
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Clark Barwick, Saul Glasman, Akhil Mathew, and Thomas Nikolaus.
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[Gro58]
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[Zan21]
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Ferdinando Zanchetta. “Unstable operations on \(K\)-theory for singular
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https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107716.
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