1個の元から成る体

Soulé の [Sou04] によると, \(1\)個の元から成る体 \(\F _1\) の存在は, 数多くの数学者が夢想したことのようである。その論文の最初の節は, \(\F _1\) の歴史について書かれている。

\(\F _1\) を考えるというアイデアは, 対称群と線形群を統一して扱いたい, という要望に基づくものだそうだ。\(n\)次対称群を \(\GL _n(\F _1)\) や \(\SL _n(\F _1)\) と考えたり, \(n\)個の元からなる集合を \(\F _1\) 上の\(n\)次元射影空間, \((n+1)\)個の元から成る基点付き集合を \(\F _1\) 上の\(n\)次元 affine 空間と考えると都合の良いことがあるからである。

最初に考えたのは Tits だろうか。Soulé の論文には Tits の [Tit57] や Manin の [Man95] などの文献が挙げられている。当然であるが, 他にも有限体上の general linear group と対称群の類似に気が付いた人はいるようである。Borger の [Bor] では, R. Steinberg の [Ste51] が上げられている。確かに§2の最後にそれらしい記述がある。Lescot [Les09] は, Zhu の2000年の preprint でのアイデアとの比較が行なわれている。Lorscheid [Lor16] の解説によると, より一般に Weyl群を Lie 群 (代数群) の \(\F _1\)-point と見るべきのようである。

この neverendingbooks の post では, Riemann予想が motivation として書いてある。そこから link の張られている Connes と Consani と Marcolli の "Fun with \(\F _1\)" [CCM09] にあるように, noncommutative geometry のアイデアが使えるというのは興味深い。

もちろんまだ発展途上の分野であり, 様々なアイデアが提案されている段階, だと思う。 それらの関係については, López Peña と Lorscheid の [LL11], そして Lorscheid の [Lor16] の part I を見るとよいかもしれない。Le Bruyn の lecture note [Le 16] も, 歴史的なことにも触れてあって面白い。

体があれば, 様々なことができる。最も基本的なのは, 線形代数だろうか。 このpostでは, “\(\F _{1^n}\)上のlinear algebra”について述べられている。 元になっているのは, Kapranov と Smirnov の未発表論文 [KS] らしいが。\(\F _1\)上の線形代数については, Thas の [Tha16] の§4でもまとめられている。

\(\GL _n(\F _1)\) を \(n\)次対称群と解釈するということは, braid群 を \(\F _1\) を使ってどう表わすかというのは, 自然な疑問である。 このneverendingbooksのpostによると, \(\GL _n(\F _1[t])\) が答えのようである。

線形代数の次は, 体上の可換環や associative algebra, そして可換環から代数幾何学を構築することだろう。 \(\F _1\) 上の代数幾何学の類似を geometry over \(\F _1\) などと言ったりする。

• geometry over \(\F _1\)

Asssociative algebra との関連では, \(\F _1\) 上の quiver の表現がある。 Szczesny の [Szc12] である。

• representations over \(\F _{1}\)

代数的トポロジーとの関連では, \(K\)-theory と安定 (コ) ホモトピー群との関係を説明するために, 使えそうである。実際 Guillot の [Gui] という試みがある。\(\GL _n(\F _1)\) を\(n\)次対称群 \(\Sigma _n\) と見なすと, \(\F _1\) の algebraic \(K\)-theory は \[ \Omega B\left (\coprod _n B\GL _n(\F _1)\right ) = \Omega B\left (\coprod _n B\Sigma _n\right ) \simeq \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }(S^0) \] のホモトピー群であるから, 球面の安定ホモトピー群 \[ K_n(\F _1) = \pi _n^S(S^0) \] である。Kurokawa の [Kur05] によると, この \(K_n(\F _1)\) の「定義」は, Manin [Man95] によるものらしい。Mahanta の [Mah17] も見るとよい。

このようなことからか, Anevski の [Ane] にあるように, finite spectrum の成す stable homotopy category を \(\mathrm {Spec}(\F _1)\) 上の perfect complex の成す triangulated category とみなすことも考えられているようである。

Haran は [Har; Har10] で “generalized ring” という概念を定義して, \(\F _1\) は “generalized ring” の category の initial object と考えられると言っている。その後, [Har17] では \(\F \)-ring という概念を用いている。この \(\F \) は \(\F _1\) のことである。

Manin [Man10] によると, Habiro により \(3\)次元ホモロジー球面の不変量の研究 [Hab08] のための準備として得られた結果 [Hab04] や Lawrence らの研究 [Law97; LZ99] は, \(\F _1\) 上の analytic function に関する結果とみなすのが良いようである。

Connes と Consani [CC11] は, tropical な世界との関係も指摘している。 また, [CC15] では cyclic homology を定義する際の, 組み合せ論的な構造との関係について調べている。

組み合せ論的な構造は, Thas が [Tha] などで色々調べている。主に有限体上の射影幾何との関連であるが。

Thas は Lorscheid との共著 [LT23] で, Tits が目指した \(\F _{1}\) 上の代数群の定義を考えている。 彼等は crowd という概念を導入し, 群の代りに用いることを提案している。

References

[Ane]

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