Geometry over 𝔽1

一個の元からなる体が存在したと仮定すると, その上の代数幾何学を構築するというのは, とても興味深いプロジェクトである。 実際, 様々な \(\F _1\)-geometry の提案がある。 ただ, この blog post で書かれているように, 過去20年は, それほど進歩がないようで, どのアプローチが正しいのか, まだ分からないようである。 色々なアイデアを見てみるのがよいと思う。例えば, 以下のような解説 (?) がある。

• Deitmar’s paper [Dei05]
• Connes-Consani paper [CC11b]
• Shai Haran’s paper [Har07]
• Cohn’s paper [Coh04] on projective geometry over \(\F _1\)
• An overview paper [LL11a] by López Peña and Lorscheid
• Another overview paper [Lor16] by Lorscheid
• Another introduction [Lor18] by Lorscheid
• Lecture note [Le 16] by Le Bruyn
• An exposition [MM20] by Manin and Marcolli
• Another lecture note [Bru] by Le Bruyn

例えば, Deitmar の提案 [Dei05] は, 可換環に対応するものを, 可換モノイドとみなすことである。これは \(\GL \) の類似が対称群であることから自然なアイデアに思える。 [Dei08] では, étale morphism なども考えられているし, Thas の [Tha16] では, このDeitmerの \(\F _1\)-scheme と Thas 自身の定義したものについて述べられている。

López Peña と Lorscheid [LL11b] は, scheme の torification, torified scheme, torified variety などの概念を導入し, torified variety は Soulé [Sou04] や Connes と Consani [CC10] の意味の \(\F _{1}\) 上のモデルを持つことを示している。

• torified variety

このアプローチは, Bejleri と Marcolli [BM13] により, Feynman graph に associate した hyperplane arrangement を調べるために使われている。

Manin は, \(\F _1\) 上の analytic function を [Man10] で考えているが, そこでは, Deitmar らの \(\F _1\) scheme の定義のように, categorical な定義だけでなく, finite extension \(\F _{1^n}\) が重要であることが述べられている。そして この post に書かれているように, \(\Z \) を \(\F _1\) 上の algebra と見なし, \(\F _1\) scheme から \(\Z \) 上, そして \(\bbC \) 上の scheme を作ることができる。

• \(\Z \) は \(\F _1\) 上の algebra とみなすべき

\(\F _1\) 上の代数幾何学およびそれと Tits の “geometry” との関係については, [CC11b] で議論されている。Chevalley 群との関係についても述べられている。 Cortiñas ら [Cor+15] は, toric variety の \(K\)-theory を調べるのに使っている。

\(\F _1\) の algebraic \(K\)-theory は, 球面の安定ホモトピー群とみなすのが妥当なように思えるが, より一般の \(\F _1\)-scheme や \(\F _{1}\)上の algebra の algebraic \(K\)-theory については, Chu と Lorscheid と Santhanam の [CLS12] で考えられている。 Chu と Morava の [CM] も見るとよい。それによると, Abel群 \(G\) の \(\F _1\) 上の group algebra \(\F _1[G]\) に対しては, 同型 \[ K_n(\mathrm {Spec}(\F _1[G])) \cong \pi _n^S(BG_+) \] が成り立つようである。

Durov は, [Dur]で, Arakelov geometry の 一般化として \(\F _1\) も包括する枠組みを構築しようとしている。それによると, \(\F _1\)-module の ホモロジー代数は, 基点付き simplicial set のホモトピー代数, つまり古典的なホモトピー論と考えるのが良さそうである。 これは, 上記のように algebraic \(K\)-theory として球面の安定ホモトピー群が現れることからも妥当に思える。

Connes と Consani [CC16] は, Segal の \(\Gamma \)-space の discrete 版, つまり \(\Gamma \)-set を用いることを提案している。\(\Gamma \)-space は infinite loop space, つまり connective spectrum に対応するものであるが, Lydakis [Lyd99] は \(\Gamma \)-space の category に monoidal strucutre を定義し, connective ring spectrum の category の model を構成した。Connes と Consani は, \(\Gamma \)-set の category の monoid object を \(\mathbb {S}\)-algebra と呼び, それまで彼等が提案してきた hyperring や semiring によるアプローチを統合するものとして提案している。

Tropical algebraic geometry との関連については, Giansiracusa と Giansiracusa の [GG16] がある。 Connes と Consani [CC11a] も, tropical な世界との関係を指摘している。

様々な tropicalization へのアプローチを統合する方法として, Lorscheid [Lor23] は, 自身の導入した ordered blueprint を使うことを提案している。

• blueprint
• ordered blueprint
• blue scheme

Weyl群を Lie 群 (代数群) の \(\F _1\)-point と見るべき, という Tits の提案も, blueprint を使うと述べることができるようである。

References

[BM13]

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