線形代数

Dieudonné の本 [Die09] によると, 1930年代の数学者達が Poincaré の漠然としたアイデアを homology という概念として定式化しようとしたとき, 中心的な役割を果したのは Emmy Noether だったらしい。また, van der Waerden の本 [Wae85] によると, Noether は線形代数を現代の形に整理した人でもある。

• ベクトル空間と線型写像

線形代数とは要するに体上の加群の理論であるから, 代数的トポロジーでも体係数の (co)homology を扱うときには必要になる。特に, cohomology との関係で duality を理解している必要がある。 連結ではない homology theory を扱うときには, 無限次元の vector space, またそれらに filtration を入れたものが必要になる。そして filtration が入ると, 位相が定義される。

• 位相ベクトル空間

線形代数に直接関連した話題としては, 行列群の知識があるとよい。\(O(n)\) や \(U(n)\) などの 古典群や \(G_2, F_4, E_6, E_7, E_8\) といった 例外群は, 様々な重要な例や問題の宝庫である。ただし古典群でも, 四元数のように非可換な体上で線形代数をすることもあるので注意が必要である。 例外群の場合は, 八元数体のような結合律も使えない状況で計算しなければならない。

• 行列について
• 行列群
• 実数や複素数や四元数について

最近では, “ 1個の元から成る体 \(\F _1\)” 上の線形代数も必要になってきた。 直接 球面の安定ホモトピー群と関係あるようで, その関係がはっきりしたら重要な道具になりそうである。

• \(\F _1\)

他にも ベクトル束, そして幾何学的に \(K\)理論を扱う際には, 当然線形代数の知識が不可欠である。

また一次従属性からは matroid という概念が得られ, hyperplane arrangement や グラフなど, 各種 組み合せ論的構造を調べる上で重要である。

• matroid

Matroid は線形代数の一般化と考えることができるが, 他にも様々な線形代数の一般化が考えられている。

• 非可換線形代数
• 高次の線形代数
• quantum linear algebra
• near-vector space

3番目の quantum linear algebra は, Manin [Man87; Man88; Man91] によるある種の quadratic algebra を quantum (noncommutative) linear space とみなすというアイデアに依る。 Silantyev [Sil21; Sil22] が言うように, これを noncommutative linear space と呼ぶと, 四元数のような非可換な体上の線形代数と区別がつかないので, quantum linear space と呼ぶ方が良いと思う。

4番目の near-vector space は, ベクトル空間の定義での体の元によるスカラー倍を, ある条件をみたす endomorphism に一般化したもので, André [And74] により1970年代に導入された。 Howell と Marques [HM22] によると, Beidleman の thesis [Bei64] や Karzel の [Kar84] での定義もあるようであるが, 現在では André の定義が最も一般的なようである。

最近様々な人が調べているようで, 例えば, Janelidze, Marques, Moore [JMM] は, 適当な scalar system 上の near-vector space の category が Abelian category になることを示している。

他にも色々面白い話題はある。

• bilinear form と関連した話題
• total positivity

References

[And74]

Johannes André. “Lineare Algebra über Fastkörpern”. In: Math. Z. 136 (1974), pp. 295–313. url: https://doi.org/10.1007/BF01213874.

[Bei64]

James Clark Beidleman. ON NEAR-RINGS AND NEAR-RING MODULES. Thesis (Ph.D.)–The Pennsylvania State University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1964, p. 178.

[Die09]

Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology 1900–1960. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1989 edition [MR0995842]. Birkhäuser Boston, Ltd., Boston, MA, 2009, pp. xxii+648. isbn: 978-0-8176-4906-7. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4907-4.

[HM22]

K.-T. Howell and S. Marques. “Toward an intuitive understanding of the structure of near-vector spaces”. In: Comm. Algebra 50.9 (2022), pp. 3664–3677. arXiv: 1912.06674. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2022.2042543.

[JMM]

Zurab Janelidze, Sophie Marques, and Daniella Moore. Why is the category of near-vector spaces abelian? arXiv: 2501.16897.

[Kar84]

Helmut Karzel. “Fastvektorräume, unvollständige Fastkörper und ihre abgeleiteten geometrischen Strukturen”. In: Mitt. Math. Sem. Giessen 166 (1984), pp. 127–139.

[Man87]

Yu. I. Manin. “Some remarks on Koszul algebras and quantum groups”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 37.4 (1987), pp. 191–205. url: http://www.numdam.org/item?id=AIF_1987__37_4_191_0.

[Man88]

Yu. I. Manin. Quantum groups and noncommutative geometry. Montreal, QC: Université de Montréal Centre de Recherches Mathématiques, 1988, pp. vi+91. isbn: 2-921120-00-3.

[Man91]

Yuri I. Manin. Topics in noncommutative geometry. M. B. Porter Lectures. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1991, pp. viii+164. isbn: 0-691-08588-9.

[Sil21]

Alexey Silantyev. “Manin matrices for quadratic algebras”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 17 (2021), Paper No. 066, 81. arXiv: 2009.05993. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2021.066.

[Sil22]

A. V. Silantyev. “Quantum representation theory and Manin matrices I: the finite-dimensional case”. In: Trans. Moscow Math. Soc. 83 (2022), pp. 75–149. arXiv: 2108.00269. url: https://doi.org/10.1090/mosc/340.

[Wae85]

B. L. van der Waerden. A history of algebra. From al-Khwārizmı̄ to Emmy Noether. Berlin: Springer-Verlag, 1985, pp. xi+271. isbn: 3-540-13610-X.