行列群

Lie群は, 代数的トポロジーにとっても重要な空間であるが, Lie群の理論を学ぶ前に, 行列群に慣れ親しんでおいた方がよいだろう。

教科書としては, 最初は横田の [横田一71] を読むのがいいのではないかと思う。

• \(\GL _n(k)\)
• \(\SL _n(k)\)
• \(O(n)\), \(U(n)\), \(\mathrm{Sp}(n)\)
• \(\mathrm{SO}(n)\), \(\mathrm{SU}(n)\)

これらの具体的な群について, 極大トーラスや Weyl群, そして root系などを求めてみるといいだろう。 初学者には佐藤の [佐藤肇00] が参考になる, と思う。Lie環についての本であるが。 Lie環に直さず, Lie群のままで考えてあるのは, 戸田・三村の [MT91]である。これは元々日本語で出版されたもの [戸三78; 戸三79] の英訳である。

古典群あるいは \(\SO (n)\) の universal cover という意味で, spinor群についても知っておくべきである。

• Clifford algebra と \(\mathrm{Spin}(n)\)

ホモトピー論の視点からは, universal cover は基本群を消した空間なので, より高次のホモトピー群を消したものを考えるのも, 不自然ではない。実際そのような「群」は string group と呼ばれ string theory などで現れるようである。

• string group やその高次化

References

[MT91]

Mamoru Mimura and Hirosi Toda. Topology of Lie groups. I, II. Vol. 91. Translations of Mathematical Monographs. Translated from the 1978 Japanese edition by the authors. Providence, RI: American Mathematical Society, 1991, pp. iv+451. isbn: 0-8218-4541-1.

[佐藤肇00]

佐藤肇. リー代数入門 — 線型代数の続編として. 東京: 裳華房, 2000.

[戸三78]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(上). Vol. 14-A. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1978.

[戸三79]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(下). Vol. 14-B. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1979.

[横田一71]

横田一郎. 群と位相. 東京: 裳華房, 1971.