ルート系と関連したことがら

ルート系とは, 簡単に言えば, 鏡映で閉じたベクトルの集まり (vector configuration) である。鏡映で閉じていることで, 単なる vector configuration ではなく, 組合せ論的構造 (代数的構造) とみなすことができる。 単純 (半単純) Lie algebra (Lie群) についての本質的な情報を持っているため, Lie群やLie algebra を勉強すると きには, 必要になる。 例えば, ルート系の情報だけから, Weyl 群などが構成できる。

• ルート系の Weyl 群
• ルート系の braid 群
• ルート系の Steinberg 群

これらの群 (とその一般化) については Loday と Stein の [LS05] を参考にするとよい。Braid 群のように, よく知られている概念が \(A_n\) の場合に対応し, それを他のルート系の場合に拡張できることはよくある。 群で言えば, 対称群に関することを Weyl 群に一般化するなど。Adin と Postnikov と Roichman の [APR01] など。

Weyl 群は, 超平面に関する reflection で生成されている群であるが, より一般に Coxeter group や complex reflection group などの群が考えられている。

• reflection group

有限次元 Lie algebra の理論が様々な方向で一般化されているので, それに対応してルート系の一般化も色々考えられている。Loos と Neher の [LN11] をみるとよい。例えば, 以下のようなものがある。

• extended affine root system [Sai85; All+97]
• Lie superalgebra に対応する Serganova の generalized root system [Ser96]
• Bardy [Bar96; Bar04] の Borchards による Kac-Moody algebra の一般に対する root system
• Loos と Neher [LN04] の locally finite root system
• Loos と Neher [LN11] の partial root system
• Yousofzadeh [You] の extended affine root supersystem

Loos と Neher は, reflection system という言葉も導入しているが, これは M. Davis が [Dav08] の中で定義しているものとは別のものであるので, 注意が必要である。

有限次元 simple Lie algebra の分類での Weyl group の役割を, 有限次元 pointed Hopf algebra の分類で果すものとして, Weyl groupoid の概念が導入された。 ルート系の概念も一般化 [CH09] されている。

• Weyl groupoid

ルート系に関連した幾何学的 (組み合せ論的) 構造には, 様々なものがあるが, 例えば cluster complex と呼ばれる simplicial complex がある。

• cluster complex

References

[All+97]

Bruce N. Allison, Saeid Azam, Stephen Berman, Yun Gao, and Arturo Pianzola. “Extended affine Lie algebras and their root systems”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 126.603 (1997), pp. x+122.

[APR01]

Ron M. Adin, Alexander Postnikov, and Yuval Roichman. “On characters of Weyl groups”. In: Discrete Math. 226.1-3 (2001), pp. 355–358. arXiv: math/0005021. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X(00)00165-5.

[Bar04]

Nicole Bardy. “Définition abstraite d’un système de racines dans le cas symétrisable”. In: J. Algebra 271.1 (2004), pp. 108–178. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0021-8693(03)00387-9.

[Bar96]

Nicole Bardy. “Systèms de racines infinis”. In: Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 65 (1996), pp. vi+188.

[CH09]

M. Cuntz and I. Heckenberger. “Weyl groupoids with at most three objects”. In: J. Pure Appl. Algebra 213.6 (2009), pp. 1112–1128. arXiv: 0805.1810. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.11.009.

[Dav08]

Michael W. Davis. The geometry and topology of Coxeter groups. Vol. 32. London Mathematical Society Monographs Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008, pp. xvi+584. isbn: 978-0-691-13138-2; 0-691-13138-4.

[LN04]

Ottmar Loos and Erhard Neher. “Locally finite root systems”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 171.811 (2004), pp. x+214.

[LN11]

Ottmar Loos and Erhard Neher. “Reflection systems and partial root systems”. In: Forum Math. 23.2 (2011), pp. 349–411. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORM.2011.013.

[LS05]

Jean-Louis Loday and Michael R. Stein. “Parameterized braid groups of Chevalley groups”. In: Doc. Math. 10 (2005), 391–416 (electronic). arXiv: math/0212206.

[Sai85]

Kyoji Saito. “Extended affine root systems. I. Coxeter transformations”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 21.1 (1985), pp. 75–179. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195179841.

[Ser96]

Vera Serganova. “On generalizations of root systems”. In: Comm. Algebra 24.13 (1996), pp. 4281–4299. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879608825814.

[You]

Malihe Yousofzadeh. Extended Affine Root Supersystems. arXiv: 1502.03607.