非可換あるいは非結合的線形代数

Lie群, 特に例外群を扱うときには, 四元数や八元数を係数に持つ行列に関する計算が必要になる。 そのような「非可換」あるいは「非結合的」線形代数について, どれぐらい系統立てて調べられているのだろうか。 もちろん, 任意の非可換環上の行列に対しては, 線形代数と全く同じことを行なうのは不可能であるが, 定義を変えたり条件を付けたりして類似のことが行なえることは多い。

行列式については様々な試みがあるようである。 Gel\('\)fand と Gel\('\)fand と Retakh と Wilson の quasideterminant に関する [Gel+05] の Introduction に簡単な歴史が書いてある。

• quasideterminant

それによると, 最も有名で広く使われている非可換環上の determinant は, Dieudonné によるもの [Die43] らしい。

行列式の定義は変えないで, 行列に条件をつけるということを Manin が [Man88] で考えている。この Manin 行列については, Chervov と Falqui と Rubtsov が [CFR] で色々調べている。

References

[CFR]

A. Chervov, G. Falqui, and V. Rubtsov. Algebraic properties of Manin matrices 1. arXiv: 0901.0235.

[Die43]

Jean Dieudonné. “Les déterminants sur un corps non commutatif”. In: Bull. Soc. Math. France 71 (1943), pp. 27–45. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1943__71__27_0.

[Gel+05]

Israel Gelfand, Sergei Gelfand, Vladimir Retakh, and Robert Lee Wilson. “Quasideterminants”. In: Adv. Math. 193.1 (2005), pp. 56–141. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.03.018.

[Man88]

Yu. I. Manin. Quantum groups and noncommutative geometry. Montreal, QC: Université de Montréal Centre de Recherches Mathématiques, 1988, pp. vi+91. isbn: 2-921120-00-3.