Temperley-Lieb Algebras and Related Topics

Temperley-Lieb algebra は, その名前の通り, Temperly と Lieb [TL71] により発見された代数であるが, その動機は 統計物理学の Potts model の研究だったようである。 その後, Vaughan Jones [Jon83] により von Neumann algebra の文脈で再発見されている。

このような歴史的なことを含めた解説として Doty と Giaquinto の [DG] がある。それによると, diagrammatic approach は, Kauffman [Kau87; Kau88] による。

Kirsten Davis の修士論文 [Dav] によると, type A Coxeter group の Hecke algebra の商環として表せることを示したのも Jones のようである。 これにより, 他の Coxeter group への一般化も考えられるようになった。 それについては, Pesiri の thesis [Pes] を見るとよい, と思う。 一般化自体は, Graham の thesis [Gra95] で導入されたようであるが。

Yamagami の [Yama] では, tensor category を用いることにより, Temperley-Lieb algebra の基本的な性質が証明されているが, そこでは Temperley-Lieb category が用いられている。

• Temperley-Lieb category

Temperley-Lieb category は, Graham と Lehrer の [GL98] で導入されたものであるが, その object は非負整数であり, \(n\) の endomorphism algebra が Temperley-Lieb algebra \(\mathrm {TL}_{n}\) になっているものである。Yamagami は自身の [Yamb] を参照している。

References

[Dav]

Kirsten N. Davis. A cellular quotient of the Temperley–Lieb algebra of type \(D\). M.S. thesis at Northern Arizona University in 2014. arXiv: 1506.05546.

[DG]

Stephen Doty and Anthony Giaquinto. Origins of the Temperley-Lieb algebra: early history. arXiv: 2307.11929.

[GL98]

J. J. Graham and G. I. Lehrer. “The representation theory of affine Temperley-Lieb algebras”. In: Enseign. Math. (2) 44.3-4 (1998), pp. 173–218.

[Gra95]

John Jeffrey Graham. “Modular representations of Hecke algebras and related algebras”. PhD thesis. University of Sydney, 1995.

[Jon83]

V. F. R. Jones. “Index for subfactors”. In: Invent. Math. 72.1 (1983), pp. 1–25. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01389127.

[Kau87]

Louis H. Kauffman. “State models and the Jones polynomial”. In: Topology 26.3 (1987), pp. 395–407. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(87)90009-7.

[Kau88]

Louis H. Kauffman. “Statistical mechanics and the Jones polynomial”. In: Braids (Santa Cruz, CA, 1986). Vol. 78. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988, pp. 263–297. url: https://doi.org/10.1090/conm/078/975085.

[Pes]

Alfonso Pesiri. Combinatorial properties of Temperley Lieb algebras. Ph.D. thesis at University of Rome. arXiv: 1310.0634.

[TL71]

H. N. V. Temperley and E. H. Lieb. “Relations between the “percolation” and “colouring” problem and other graph-theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the “percolation” problem”. In: Proc. Roy. Soc. London Ser. A 322.1549 (1971), pp. 251–280.

[Yama]

Shigeru Yamagami. A categorical and diagrammatical approach to Temperley-Lieb algebras. arXiv: math/0405267.

[Yamb]

Shigeru Yamagami. Fiber Functors on Temperley-Lieb Categories. arXiv: math/0405517.