Model Structures on Posets

Model category というと, 位相空間の圏や chain complex の圏のように大きな圏を扱うことが多いが, もちろん, 小さな圏の上の model structure を考えることもできる。特に, 有限な圏の場合, その上の model structure は有限個しかないので, その分類をする, という問題を考えることができる。

実際, poset (を small category とみなしたもの) の上の model structure は, 最近様々な人により調べられるようになってきた。

最初は, Droz と Zakharevich の [DZ21] だろうか。

有限全順序集合の場合は Balchin らの [Bal+23] で分類されている。 彼等は, より一般に有限 lattice の場合を調べているが。 また Mazur らは [Maz+] で一般の finite lattice 上の model structure の transfer system による特徴付けを得ている。

• model structure on finite totally ordered set
• model structure on finite lattice

この transfer system というのは, equivariant stable homotopy theory の文脈で, Rubin [Rub21; Rub] と Balchin ら [BBR21] により独立に導入された構造である。より正確には, \(N_{\infty }\)-operad の分類のために導入されたものであるが。

References

[Bal+23]

Scott Balchin, Kyle Ormsby, Angélica M. Osorno, and Constanze Roitzheim. “Model structures on finite total orders”. In: Math. Z. 304.3 (2023), Paper No. 40, 35. arXiv: 2109.07803. url: https://doi.org/10.1007/s00209-023-03287-6.

[BBR21]

Scott Balchin, David Barnes, and Constanze Roitzheim. “\(N_\infty \)-operads and associahedra”. In: Pacific J. Math. 315.2 (2021), pp. 285–304. arXiv: 1905.03797. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2021.315.285.

[DZ21]

Jean-Marie Droz and Inna Zakharevich. “Extending to a model structure is not a first-order property”. In: New York J. Math. 27 (2021), pp. 319–348. arXiv: 1410.6127.

[Maz+]

Kristen Mazur et al. Characterizing model structures on finite posets. arXiv: 2511.06151.

[Rub]

Jonathan Rubin. Characterizations of equivariant Steiner and linear isometries operads. arXiv: 1903.08723.

[Rub21]

Jonathan Rubin. “Detecting Steiner and linear isometries operads”. In: Glasg. Math. J. 63.2 (2021), pp. 307–342. url: https://doi.org/10.1017/S001708952000021X.