Cotangent Complex

Cotangent complex を誰が最初に導入したのか知らないのだが, Quillen [Qui70] と André [And67] の commutative ring の cohomology theory の定義の中で使われていることで知った。Quillen のには relative cotangent complex という名前が登場するが, André のには cotangent complex という名前は登場しない。この名前は Quillen が導入したものなのだろうか。

• André-Quillen cohomology

基本的な文献としては, この Quillen と André のものをまず挙げるべきだろう。それを global 化, つまり scheme に一般化したものが Illusie の [Ill71; Ill72] である。 Iyengar の André-Quillen homology に関する lecture notes [Iye07] の §5 に簡潔にまとめられているので, まずはこれを見てみるのがよいかもしれない。 The Stack project にも The Cotangent Complex の chapter があるが, 極力 simplicial technique を使わないで書いた, と宣言している。

Cotangent complex の意味については, この MathOverflow の質問に対するコメントや回答を見るのが手っ取り早い。

その後, 様々な一般化が考えられていて, 特に commutative ring spectrum (\(E_{\infty }\)-ring spectrum) への一般化も考えられている。 \(E_{\infty }\)-ring spectrum の cotangent complex の様々な定義が全て同値であることは, Rasekh と Stonek の [RS20] で示されている。

\((\infty ,1)\)-category の文脈では, Lurie の [Lur09] の §5.5.9 や [Lur] の §7.3 がある。Bhatt と Morrow と Scholze の [BMS19] の §2 に簡潔にまとめられている。

Lurie が行なったことを spectrum の category で model category の言葉で行なったものとして, Harpaz, Nuiten, Prasma の [HNP18] がある。

References

[And67]

Michel André. Méthode simpliciale en algèbre homologique et algèbre commutative. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 32. Berlin: Springer-Verlag, 1967, pp. iii+122.

[BMS19]

Bhargav Bhatt, Matthew Morrow, and Peter Scholze. “Topological Hochschild homology and integral \(p\)-adic Hodge theory”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 129 (2019), pp. 199–310. arXiv: 1802.03261. url: https://doi.org/10.1007/s10240-019-00106-9.

[HNP18]

Yonatan Harpaz, Joost Nuiten, and Matan Prasma. “The abstract cotangent complex and Quillen cohomology of enriched categories”. In: J. Topol. 11.3 (2018), pp. 752–798. arXiv: 1612.02608. url: https://doi.org/10.1112/topo.12074.

[Ill71]

Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. I. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 239. Berlin: Springer-Verlag, 1971, pp. xv+355.

[Ill72]

Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. II. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 283. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. vii+304.

[Iye07]

Srikanth Iyengar. “André-Quillen homology of commutative algebras”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 203–234. arXiv: math/0609151. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08410.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Qui70]

Daniel Quillen. “On the (co-) homology of commutative rings”. In: Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVII, New York, 1968). Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1970, pp. 65–87.

[RS20]

Nima Rasekh and Bruno Stonek. “The cotangent complex and Thom spectra”. In: Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. 90.2 (2020), pp. 229–252. arXiv: 2005.01382. url: https://doi.org/10.1007/s12188-020-00226-8.