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代数的構造の成す model category としては, 次の二つが基本的である。
Frobenius algebra に限らず, より一般の環上の加群の stable category についてホモトピー論的な視点から調べたものとしては,
例えば Beligiannis の [Bel01] という論文がある。主眼はモデル圏というより, その安定ホモトピー圏の triangulated
category の構造にあるようであるが。 実際モデル圏については, 上の Frobnius algebra 上の module の例を Hovey
の本から引用しているに過ぎない。
より一般に, Abelian category や exact category などの上の model structure は Hovey
[Hov02] により cotorsion pair と関連が深いことが発見されている。
ホモロジー代数のホモトピー代数化を考えるときに基本となるのは, もちろん chain complex の category である。例えば,
dg algebra (differential graded algebra) は, chain complex の category の成す monoidal
category の monoid object である。
次数付きの意味で可換な dg algebra は, rational homotopy theory で用いられる。 Hess の [Hes07] は,
model category の視点から書かれている。 もちろん \(\Q \) 上の場合であるが。
- model category of commutative dg algebras
可換とは限らない dg algebra の category の model structure は Jardine の [Jar97] にある。Chen
の [Che] にもある。
上記のように, dg algebra は chain complex の category の monoid object なので, その
model structure は, chain complex の category の model structure から誘導される,
と考えるのは自然である。
より一般に, monoidal model category での monoid object や monoid object 上の module
の成す category の model structure を考えたのは, Schwede と Shipley [SS00] である。彼らは, 更に一般に
monoidal model category 上の monad 上の algebra の成す category の model structure
について調べている。
- monoid axiom
- cofibrantly generated monoidal model category の monoid object の
category の model structure
- cofibrantly generated monoidal model category の monoid object 上の module
の category の model structure
- cofibrantly generated monoidal model category 上の monad 上の algebra の
category の model structure
これらを dual にすれば, comonoid 上の coalgebra や comonad 上の coalgebra の場合に model
structure ができそうであるが, 話はそう簡単ではないようである。 それでも, model structure は構成されている。
- Quillen [Qui69] による cocommutative coalgebra の圏の model structure
- Lefèvre-Hasegawa の thesis [Lef] による coassociative coalgebra の圏への拡張
- Getzler と Goerss の preprint [GG] で定義され た dg coalgebra の圏の model
structure
- monoidal model category の comonoid object の圏や comonoid 上の comodule
の成す圏 (Stanculescu の [Sta10])
- monoidal model category 上の comonad 上の coalgebra の圏の model structure
(Hess と Shipley の [HS14])
ここで, 上2つと3番目は weak equivalence が異なることに注意する。上は, cobar construction を取って
dg Lie algebra に直して定義されたものであり, 下は quasi-isomorphism が weak equivalence
である。
これらのことから, simplicial coalgebra の圏にも dg coalgebra の圏にも, dg vector space, つまり
chain complex の圏の model structure から model structure が誘導されるが, それらが Dold-Kan
correspondence を通して Quillen equivalent になるかを Sore [Sor16] が調べている。
Commutative monoid の成す圏については, White の[Whi] まで知られていなかった (調べられていなかった?)
ようである。
- commutative monoid axiom
- cofibrantly generated monoidal model category の commutative monoid
の成す圏の model structure
他にも, このような monoidal model category からできる model category には様々なものがある。代表的なのは,
operad に関係したものだろう。例えば, associative dg algebra の category の model structure は
operad 上 の algebra の model structure に一般化されている。
このような一般的な構成ではなく, dg algebra 上の module の category に限定して, どのような model
structure が入るか, を考えているのは Barthel と May と Riehl [BMR14]である。6種類の model structure
を定義している。
Salch [Sal]は, module の category (scheme 上の quasicoherent sheaf の category) 上の
(cofibrantly generated) model structure の「集まり」を考え, それがどのような Grothendieck
topology に関し sheaf になっているかを考えている。
以下に, 他に目にしたものを集めた。整理はしていないが。
References
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