Operad やそれに関係するものの成す圏の model structure

最初に定義された operad は位相空間での operad だった。 その後 chain complex の圏での operad なども盛んに用いられるようになったが, 位相空間の圏も chain complex の圏も model category の構造を持つ。よって, operad の成す model category を考えたくなる。

Berger と Moerdijk [BM03]は, より一般に, ある symmetric monoidal category の operad の圏がモデル構造を持つための条件を求めている。 更に彼等 は, それを用いて Boardman と Vogt の \(W\)-construction の一般化を [BM06] で行なっている。Operad の圏のモデル構造 は Kro による一般化 [Kro] や Cavglia による一般化 [Cav] もある。 Orthogonal spectrum にも使えるものである。

• Berger と Moerdijk による operad の圏のモデル構造
• Berger と Moerdijk による \(W\)-construction の一般化
• Kro による enriched symmetric monoidal category での operad の圏のモデル構造
• symmetric spectrum の圏の colored operad の圏の model structure [GV]
• symmetric monoidal model category の prop の圏の model structure [Fre10]
• colored prop の圏の model structure [JY]
• colored simplicial prop の圏の model structure [HR17]
• simplicial properad の圏の model structure [HRY17]

これらや higher operad (\(n\)-operad) なども含む場合について, polynomial monad 上の algebra のなす model category を Batanin と Berger [BB17] が考えている。

もっとも, 位相空間や chain complex など, 具体的な圏の operad の圏におけるモデル構造の存在は, Berger と Moerdijk 以前にも, 専門家には知られていたことのようである。Markl の [Mar96] や Hinich の [Hin97] や Spitzweck の [Spi] などがある。Hinich や Spitzweck はある operad 上の algebra の圏や, operad 上のある algebra 上の module の圏なども考察している。

• ある operad 上の algebra の圏のモデル構造 [Hin97; BM07]
• ある operad 上のある algebra 上の module の圏のモデル構造 [Hin97; Har10]
• symmetric spectrum の圏の operad 上の module や algebra の圏のモデル構造 [Har09]
• operad 上の commutative co-Segal algebra の圏のモデル構造 [Bac]
• operad in distribution の pair 上の bialgebra の圏のモデル構造 [Yal]

ここで operad in distribution とは Fox と Markl [FM97] により導入された概念である。

Symmetric monoidal model category の operad 上の algebra の category が元の model category から model structure を transfer して得られるための条件については, Pavlov と Scholbach [PS18] の考えているものがある。 特に, [PS19a; PS19b] で symmetric monoidal model category での symmetric spectrum の圏での colored symmetric operad は, その条件をみたしていることを示している。

Hinich のモデル構造は, Beilinson と Drinfeld の chiral algebra の本 [BD04] でも使われていて, 興味深い。

双対的に operad や cooperad 上の coalgebra の圏のモデル構造も考えられている。 Drummond-Cole と Hirsh の [DH] には以下のものが挙げられている。

• Aubry と Chataur の [AC03] によるモデル構造
• Vallette [Val20] によるモデル構造

これらは weak equivalence が異なることに注意する。

References

[AC03]

Marc Aubry and David Chataur. “Cooperads and coalgebras as closed model categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 180.1-2 (2003), pp. 1–23. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00174-3.

[Bac]

Hugo V. Bacard. Model structure on co-Segal commutative dg-algebras in characteristic p>0. arXiv: 1406.1115.

[BB17]

M. A. Batanin and C. Berger. “Homotopy theory for algebras over polynomial monads”. In: Theory Appl. Categ. 32 (2017), Paper No. 6, 148–253. arXiv: 1305.0086.

[BD04]

Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld. Chiral algebras. Vol. 51. American Mathematical Society Colloquium Publications. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, p. vi 375. isbn: 0-8218-3528-9.

[BM03]

Clemens Berger and Ieke Moerdijk. “Axiomatic homotopy theory for operads”. In: Comment. Math. Helv. 78.4 (2003), pp. 805–831. arXiv: math/0206094. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00014-003-0772-y.

[BM06]

Clemens Berger and Ieke Moerdijk. “The Boardman-Vogt resolution of operads in monoidal model categories”. In: Topology 45.5 (2006), pp. 807–849. arXiv: math / 0502155. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2006.05.001.

[BM07]

Clemens Berger and Ieke Moerdijk. “Resolution of coloured operads and rectification of homotopy algebras”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 31–58. arXiv: math/ 0512576.

[Cav]

Giovanni Caviglia. A Model Structure for Enriched Coloured Operads. arXiv: 1401.6983.

[DH]

Gabriel C. Drummond-Cole and Joseph Hirsh. Model structures for coalgebras. arXiv: 1411.5526.

[FM97]

Thomas F. Fox and Martin Markl. “Distributive laws, bialgebras, and cohomology”. In: Operads: Proceedings of Renaissance Conferences (Hartford, CT/Luminy, 1995). Vol. 202. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997, pp. 167–205. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/202/02584.

[Fre10]

Benoit Fresse. “Props in model categories and homotopy invariance of structures”. In: Georgian Math. J. 17.1 (2010), pp. 79–160. arXiv: 0812.2738.

[GV]

Javier J. Gutiérrez and Rainer M. Vogt. A model structure for coloured operads in symmetric spectra. arXiv: 1006.2316.

[Har09]

John E. Harper. “Homotopy theory of modules over operads in symmetric spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.3 (2009), pp. 1637–1680. arXiv: 0801.0193. url: https://doi.org/10.2140/agt.2009.9.1637.

[Har10]

John E. Harper. “Homotopy theory of modules over operads and non-\(\Sigma \) operads in monoidal model categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.8 (2010), pp. 1407–1434. arXiv: 0801 . 0191. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.11.006.

[Hin97]

Vladimir Hinich. “Homological algebra of homotopy algebras”. In: Comm. Algebra 25.10 (1997), pp. 3291–3323. arXiv: q-alg/9702015. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879708826055.

[HR17]

Philip Hackney and Marcy Robertson. “The homotopy theory of simplicial props”. In: Israel J. Math. 219.2 (2017), pp. 835–902. arXiv: 1209.1087. url: https://doi.org/10.1007/s11856-017-1500-4.

[HRY17]

Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. “A simplicial model for infinity properads”. In: High. Struct. 1.1 (2017), pp. 1–21. arXiv: 1502.06522.

[JY]

Mark W. Johnson and Donald Yau. On homotopy invariance for algebras over colored PROPs. arXiv: 0906.0015.

[Kro]

Tore August Kro. Model structure on operads in orthogonal spectra. arXiv: math/0703838.

[Mar96]

Martin Markl. “Models for operads”. In: Comm. Algebra 24.4 (1996), pp. 1471–1500. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879608825647.

[PS18]

Dmitri Pavlov and Jakob Scholbach. “Admissibility and rectification of colored symmetric operads”. In: J. Topol. 11.3 (2018), pp. 559–601. arXiv: 1410.5675. url: https://doi.org/10.1112/topo.12008.

[PS19a]

Dmitri Pavlov and Jakob Scholbach. “Symmetric operads in abstract symmetric spectra”. In: J. Inst. Math. Jussieu 18.4 (2019), pp. 707–758. arXiv: 1410.5699. url: https://doi.org/10.1017/s1474748017000202.

[PS19b]

Dmitri Pavlov and Jakob Scholbach. “Symmetric operads in abstract symmetric spectra—erratum”. In: J. Inst. Math. Jussieu 18.5 (2019), p. 1113. url: https://doi.org/10.1017/s1474748019000379.

[Spi]

Markus Spitzweck. Operads, Algebras and Modules in General Model Categories. arXiv: math/0101102.

[Val20]

Bruno Vallette. “Homotopy theory of homotopy algebras”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 70.2 (2020), pp. 683–738. arXiv: 1411.5533. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2020__70_2_683_0.

[Yal]

Sinan Yalin. The homotopy theory of bialgebras over pairs of operads. arXiv: 1302.1172.