PROP

Operad は, 複数の入力と一つの出力を持つ代数的構造であるが, PROP は, 簡単に言えば, 出力も複数にした operad の変種である。歴史的には, PROP の方が早く登場したので, operad が PROP の特殊なものであると言った方が正確だろう。Mac Lane により導入された [Mac65] ものである。

私は, 学生時代に Adams の 無限ループ空間の本 [Ada78] で知った。解説としては, Markl の [Mar08] がある。Merkulov の [Merb] では, Vallette の [Val07] と Enriquez と Etingof の [EE05] が挙げられている。Merkulov の [Mer11] もある。Ionescu の [Ion07] は簡潔にまとまっているし, 数理物理への応用についても書かれている。

一方で, PROP は object の集合が自然数と一対一に対応する, ある種の symmetric monoidal category としても定義でき, よって自然数の categorification と考えることができる。実際, Mac Lane の最初の論文ではそのように定義されている。 その論文で PROduct and Permutation を省略して PROP と呼ぼう, と書かれている。

複数の入力と複数の出力を持つものの例として, Markl の [Mar08] で挙げられているのは bialgebra である。

• PROP 上の algebra (PROP の作用)
• bialgebra はある種の PROP 上の algebra とみなすことができる。 [Mar96]

Yalin [Yal14b] は, 例を知りたければ Loday の [Lod08] を見るように, と書いている。

PROP と operad は, それらの上の algebra という概念があることからも分かるように, かなり似通ったものである。 直接の関係としては, PROP から, 出力が1つの部分として, operad を取り出すことができる。

• PROP に付随した operad

Medina-Mardones [Med20] は, chain complex の category での \(E_{\infty }\)-operad を作るために, まず finitely presented PROP を作り, それに付随した operad を取り出すという方法を使っている。 この finitely presented PROP という概念は, Medina-Mardones がこの論文で導入したものだろう。Chain complex の category での PROP は dg PROP と呼ばれたりする。

• dg PROP
• chain complex の category での finitely presented PROP

このような代数的な PROP に対して, Vallette が thesis [Val03; Val07] で PROP の Kozsul duality について調べている。 Operad の Koszul duality の一般化となるものである。

Yalin [Yal14a] によると, Rezk が Ph.D. thesis [Rez96] で operad 上の algebra 構造のなす moduli space を定義しているそうであるが, Yalin はその PROP 版を考えている。

Enriquez と Etingof の [EE05] によると, PROP は代数的な quantization を記述するのに使えるようである。そこで挙げられている例は, 次の三つである: classical Yang-Baxter 方程式の解の量子化, Lie bialgebra の量子化, quasitriangular Lie bialgebra の量子化。

Kassabov と Patotski [KP18] は, 離散群の表現の成す scheme を, ある functor の tensor product として表すために用いている。

Kontsevich の deformation quantization との関連については, Merkulov が [Mer06; Mer05; Mera] で色々調べているが, より幅広い数理物理の現象を記述するために, Markl と Merkulov と Shadrin が [MMS09] で導入したのが wheeled PROP である。

• wheeled PROP

Operad に対して, colored operad つまり multicategory があるように, PROP に対しても colored PROP が考えられる。Colored PROP の category については, Hackney と Robertson の [HR15] がある。

• colored PROP

ホモトピー論的には, homotopical algebra を行ないたくなるが, そのために Fresse が [Fre10] で symmetric monoidal model category での PROP の圏のmodel structure について考えている。 Simplicial PROP の category の model structure については, Hackney と Robertson の [HR17] で調べられている。

• simplicial PROP

Yalin [Yal14b] は, 与えられた PROP の cofibrant replacement を取ってできる PROP 上の algebra を元の PROP の homotopy algebraと考え, その base change による homotopy 不変性を調べている。

References

[Ada78]

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