Yang-Baxter方程式と関連した話題

Yang-Baxter 方程式は, C.N. Yang と R.J. Baxter にちなんで名付けられたものであるが, Perk と Au-Yang による Encyclopedia of Mathematical Physics の解説 [PA06] によると, その名は1970 年代後半に Faddeev により付けられたらしい。 ただ, Matsumoto と Shimizu の [MS18] によると, 同じ方程式は McGuire [McG64] によっても独立に調べられていたようである。

Jimbo による解説 [Jim89a] や Yang-Baxter 方程式に関する論文の reprint を集めたもの [Jim89b] もある。

有名なのは, quantum Yang-Baxter equation が, Drinfeld と Jimbo による quantum group の理論の起源であることだろう。

Quantum Yang-Baxter equation の set-theoretical solution を調べることが, Drinfel\('\)d [Dri92] により提案されたが, その solution を構成する方法として, 様々な代数的(?)構造が発見されていて面白い。

まずは, Etingof ら [ESS99] の braided set がある。 これは set-theoretical solution と1対1に対応するものとして導入された。 Nondegenerate unitary solution に対応するものとして Rump の cycle set [Rum05], non-degenerate involutive solution に対応するものとして, やはり Rump の brace [Rum07] がある。

• braided set などの braiding を持つもの達
• cycle set
• brace

Quantum Yang-Baxter equation 以外に, 様々な一般化や変種が考えられている。 例えば, 以下のようなものがある。

• dynamical Yang-Baxter equation [Fel95a; Fel95b]
• associative Yang-Baxter equation [Hen; Lek19]
• modified Yang-Baxter equation [Sem83]
• generalized Yang-Baxter equation [Row+10]
• Hom-Yang-Baxter equation [Yau09]

これらの一般化は, monoidal category の構造と深く関係していて興味深い。例えば, Donin と Mudrov [DM05] は dynamical Yang-Baxter equation から dynamical category という構造を定義している。Kitaev と Wang [KW12] によると, generalized Yang-Baxter equation は ribbon fusion category と関係あるようである。

また, Yang-Baxter equation は simplex equation という 単体に関係した一連の方程式の一つでもある。 Yang-Baxter equation が\(2\)単体であり, その次が\(3\)単体に対応する Zamolodchikov [Zam80; Zam81] の tetrahedral equation である。

• tetrahedral equation
• simplex equation

DimakisとMüller-Hoissen の [DM15] では Bazhanovと Stroganov の [BS82] が参照されている。他にも FrenkelとMoore の [FM91] や Maillet と Nijhoff の [MN89] などを参照している。

References

[BS82]

V. V. Bazhanov and Yu. G. Stroganov. “Commutativity conditions for transfer matrices on a multidimensional lattice”. In: Teoret. Mat. Fiz. 52.1 (1982), pp. 105–113.

[DM05]

J. Donin and A. Mudrov. “Dynamical Yang-Baxter equation and quantum vector bundles”. In: Comm. Math. Phys. 254.3 (2005), pp. 719–760. arXiv: math/0306028. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-004-1247-8.

[DM15]

Aristophanes Dimakis and Folkert Müller-Hoissen. “Simplex and polygon equations”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 11 (2015), Paper 042, 49. arXiv: 1409.7855. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2015.042.

[Dri92]

V. G. Drinfel\('\)d. “On some unsolved problems in quantum group theory”. In: Quantum groups (Leningrad, 1990). Vol. 1510. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1992, pp. 1–8. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0101175.

[ESS99]

Pavel Etingof, Travis Schedler, and Alexandre Soloviev. “Set-theoretical solutions to the quantum Yang-Baxter equation”. In: Duke Math. J. 100.2 (1999), pp. 169–209. arXiv: math/9801047. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-99-10007-X.

[Fel95a]

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[Fel95b]

Giovanni Felder. “Elliptic quantum groups”. In: XIth International Congress of Mathematical Physics (Paris, 1994). Int. Press, Cambridge, MA, 1995, pp. 211–218. arXiv: hep-th/9412207.

[FM91]

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[Hen]

Thilo Henrich. Remarks on rational solutions of Yang-Baxter equations. arXiv: 1101.5901.

[Jim89a]

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[Jim89b]

Michio Jimbo, ed. Yang-Baxter equation in integrable systems. Vol. 10. Advanced Series in Mathematical Physics. Teaneck, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1989, pp. x+715. isbn: 981-02-0120-6; 981-02-0121-4.

[KW12]

Alexei Kitaev and Zhenghan Wang. “Solutions to generalized Yang-Baxter equations via ribbon fusion categories”. In: Proceedings of the Freedman Fest. Vol. 18. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2012, pp. 191–197. arXiv: 1203.1063. url: https://doi.org/10.2140/gtm.2012.18.191.

[Lek19]

Alexander Lekili Yankıand Polishchuk. “Associative Yang-Baxter equation and Fukaya categories of square-tiled surfaces”. In: Adv. Math. 343 (2019), pp. 273–315. arXiv: 1608.08992. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.11.018.

[McG64]

J. B. McGuire. “Study of exactly soluble one-dimensional \(N\)-body problems”. In: J. Mathematical Phys. 5 (1964), pp. 622–636. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.1704156.

[MN89]

Jean-Michel Maillet and Frank Nijhoff. “On the algebraic structure of integrable systems in multidimensions”. In: XVIIth International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics (Sainte-Adèle, PQ, 1988). World Sci. Publ., Teaneck, NJ, 1989, pp. 504–507.

[MS18]

Diogo Kendy Matsumoto and Kenichi Shimizu. “Quiver-theoretical approach to dynamical Yang-Baxter maps”. In: J. Algebra 507 (2018), pp. 47–80. arXiv: 1703.10412. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2018.04.003.

[PA06]

Jacques H. H. Perk and Helen Au-Yang. “Yang-Baxter Equations”. In: Encycl. Math. Phys. 5 (2006), pp. 465–473. arXiv: math-ph/0606053.

[Row+10]

Eric C. Rowell, Yong Zhang, Yong-Shi Wu, and Mo-Lin Ge. “Extraspecial two-groups, generalized Yang-Baxter equations and braiding quantum gates”. In: Quantum Inf. Comput. 10.7-8 (2010), pp. 685–702. arXiv: 0706.1761.

[Rum05]

Wolfgang Rump. “A decomposition theorem for square-free unitary solutions of the quantum Yang-Baxter equation”. In: Adv. Math. 193.1 (2005), pp. 40–55. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2004.03.019.

[Rum07]

Wolfgang Rump. “Braces, radical rings, and the quantum Yang-Baxter equation”. In: J. Algebra 307.1 (2007), pp. 153–170. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.03.040.

[Sem83]

M. A. Semenov-Tyan-Shanskiı̆. “What a classical \(r\)-matrix is”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 17.4 (1983), pp. 17–33.

[Yau09]

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[Zam80]

A. B. Zamolodchikov. “Tetrahedra equations and integrable systems in three-dimensional space”. In: Zh. Èksper. Teoret. Fiz. 79.2 (1980), pp. 641–664.

[Zam81]

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