Brace やその変種

アーベル群上にもう1つの演算が定義されたものとして, brace と呼ばれるものがある。Skew brace という変種もある。

アーベル群上にもう1つの演算を定めたものというと, 環を思い出すが, brace ではもう1つの演算も \(0\) を単位元として群になっているので, 環とは大きく異なるものである。 もちろん分配法則も成り立たない。類似の規則はあるが。

Brace は Rump [Rum07] により, そして skew brace は Guarnieri と Vendramin [GV] により, 導入された。 その動機は, Yang-Baxter 方程式の解 (set-theoretical solution) を構成することだったようである。

• Yang-Baxter 方程式

Yang-Baxter 方程式との関係については, Cedó, Jespers, Okniński の論文 [CJO14] や Bachiller の [Bac18] を見るとよい。

Vendramin による Yang-Baxter 方程式と brace に関する問題のリスト [Ven] がある。

Yang-Baxter 方程式と関係ある代数的構造としては, 他にも rack があるが, Bachiller の論文 [Bac18] には rack との関係も述べられている。

Skew brace は, Hopf-Galois extension など他の様々な代数的構造と関係があるようである。 Smoktonowicz と Vendramin の [SV] を見るとよい。

代数的構造なので (コ)ホモロジーを考えたくなるが, 実際, Lebed と Vendramin [LV] が2種類のコホモロジーを定義している。

群の一般化 (線形化, 非可換化) として Hopf algebra があるが, brace のそ の方向での一般化として Angiono, Galindo, Vendramin [AGV] の Hopf brace がある。

Dynamical Yang-Baxter equation に対応した dynamical brace というものも Matsumoto [Mat]により定義されている。

References

[AGV]

I. Angiono, C. Galindo, and L. Vendramin. Hopf braces and Yang-Baxter operators. arXiv: 1604.02098.

[Bac18]

David Bachiller. “Solutions of the Yang-Baxter equation associated to skew left braces, with applications to racks”. In: J. Knot Theory Ramifications 27.8 (2018), pp. 1850055, 36. arXiv: 1611.08138. url: https://doi.org/10.1142/S0218216518500554.

[CJO14]

Ferran Cedó, Eric Jespers, and Jan Okniński. “Braces and the Yang-Baxter equation”. In: Comm. Math. Phys. 327.1 (2014), pp. 101–116. arXiv: 1205.3587. url: https://doi.org/10.1007/s00220-014-1935-y.

[GV]

L. Guarnieri and L. Vendramin. Skew braces and the Yang-Baxter equation. arXiv: 1511.03171.

[LV]

V. Lebed and L. Vendramin. Cohomology and extensions of braces. arXiv: 1601.01633.

[Mat]

Diogo Kendy Matsumoto. Combinatorial aspects of dynamical Yang-Baxter maps and dynamical braces. arXiv: 1105.5752.

[Rum07]

Wolfgang Rump. “Braces, radical rings, and the quantum Yang-Baxter equation”. In: J. Algebra 307.1 (2007), pp. 153–170. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.03.040.

[SV]

A. Smoktunowicz and L. Vendramin. On skew braces (with an appendix by N. Byott and L. Vendramin). arXiv: 1705.06958.

[Ven]

Leandro Vendramin. Problems on skew left braces. arXiv: 1807.06411.