Monoid の一般化

Monoid は様々な見方ができるため, 数多くの一般化が考えられている。 まず, 群から逆元の存在の条件を外したものと考えると, 単位元の条件を外した semigroup, 更に結合法則を外した magma が考えられる。

• semigroup
• magma

Dabkowski ら [Dab+07] は, magma という用語は Serre の [Ser06] や Bourbaki などで使われている, と言っている。

ホモトピー論的に associativity を弱めたものとして, \(A_{\infty }\)-space がある。

• \(A_{\infty }\)-space

部分的にしか積が定義されていない monoid は, 例えば, Shimakawa の [Shi01] などで調べられている。 私も, [Tam13a; Tam13b] で使った。

• partial monoid

可算個の元を一度に足す操作を持つものとして, Janelidze と Street [JS17] は, series magma や series monoid という構造を導入している。

• series magma
• series monoid

Monoid の categorification の1つが monoidal category であるが, monoidal category では monoid object を定義することができる。 Small category 自身 monoid object とみなすことができる。

• monoid object と comonoid object
• small category as monoid object

このように大きな構造の中によく似た小さな構造が定義されることを microcosm principle と呼ぶようである。

• microcosm principle

Nikolić と Street [NS24] によると, この “microcosm principle” という言葉は Baez と Dolan によるようである。

2つの積 (binary operation) を持つ “double 〜” という変種もある。

• double magma [Edm15]
• double semigroup [Koc07]
• double inverse semigroup [DP]

References

[Dab+07]

M. A. Dabkowska, M. K. Dabkowski, V. S. Harizanov, J. H. Przytycki, and M. A. Veve. “Compactness of the space of left orders”. In: J. Knot Theory Ramifications 16.3 (2007), pp. 257–266. arXiv: math/0606264. url: https://doi.org/10.1142/S0218216507005300.

[DP]

Darien DeWolf and Dorette Pronk. On Double Inverse Semigroups. arXiv: 1501.03690.

[Edm15]

Charles C. Edmunds. “Constructing double magma on groups using commutation operations”. In: Canad. Math. Bull. 58.3 (2015), pp. 497–506. arXiv: 1308.2691. url: https://doi.org/10.4153/CMB-2015-037-0.

[JS17]

George Janelidze and Ross Street. “Real sets”. In: Tbilisi Math. J. 10.3 (2017), pp. 23–49. arXiv: 1704.08787. url: https://doi.org/10.1515/tmj-2017-0101.

[Koc07]

Joachim Kock. “Note on commutativity in double semigroups and two-fold monoidal categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 217–228. arXiv: math/0608452.

[NS24]

Branko Nikolić and Ross Street. “Monoidal centres and groupoid-graded categories”. In: Theory Appl. Categ. 40 (2024), Paper No. 1, 3–31. arXiv: 2010.10656.

[Ser06]

Jean-Pierre Serre. Lie algebras and Lie groups. Vol. 1500. Lecture Notes in Mathematics. 1964 lectures given at Harvard University, Corrected fifth printing of the second (1992) edition. Springer-Verlag, Berlin, 2006, pp. viii+168. isbn: 978-3-540-55008-2; 3-540-55008-9.

[Shi01]

Kazuhisa Shimakawa. “Configuration spaces with partially summable labels and homology theories”. In: Math. J. Okayama Univ. 43 (2001), pp. 43–72.

[Tam13a]

Dai Tamaki. “Twisting Segal’s \(K\)-homology theory”. In: Noncommutative geometry and physics. 3. Vol. 1. Keio COE Lect. Ser. Math. Sci. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2013, pp. 197–235. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789814425018_0007.

[Tam13b]

Dai Tamaki. “Two-sided bar constructions for partial monoids and applications to \(K\)-homology theory”. In: Noncommutative geometry and physics. 3. Vol. 1. Keio COE Lect. Ser. Math. Sci. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2013, pp. 177–195. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789814425018_0006.