Cotorsion Pairs

Cotorsion pair は, Salce により [Sal79] で導入された。 簡単に言えば, Abelian category \(\bm {A}\) 上 の \[ \Ext ^{1} : \bm {A}\times \bm {A} \rarrow {} \category {Abel} \] を bilinear form と考えたときに, 互いを直交性で決める subcategory の pair である。

Sarazola [Sar20] は Enochs と Jenda の本 [EJ11a; EJ11b] を参照している。

ホモトピー論との関連は, Hovey [Hov02] により発見された。 Abelian category の構造と compatible な model structure と cotorsion pair との関係が明らかになった。

• Abelian model category

より正確には, Abelian category \(\bm {A}\) での subcategory の三つ組 \((\category {Cof},\category {Triv},\category {Fib})\) で, \((\category {Cof}\cap \category {Triv},\category {Fib})\) と \((\category {Cof},\category {Triv}\cap \category {Fib})\) が complete cotorsion pair になっているものと Abelian model structure が1対1に対応する。このような三つ組を Hovey triple という。 また Gillespie [Gil15] は, cotorsion pair の compatible pair の概念を導入し, それから Hovey triple が得られることを示している。

• complete cotorsion pair
• Hovey triple
• compatible cotorsion pair

Model structure が定義されると cofibrant object が定まり, compact cofibrant object から Waldhausen category ができる。よって algebraic \(K\)-theory が定義できる。ただ, cofibrant object が欲しいだけなので, model structure の中の fibration は不要である。そこで, cotorsion pair から model category を経由せずに直接 Waldhausen category を構成する方法があってしかるべきであるが, それは Sarazola [Sar20] により得られている。

• cotorsion pair から定義される Waldhausen category

Cotorsion pair に関連した subcategory の三つ組としては, Chen [Che10] による cotorsion triple の概念もある。

• cotorsion triple

Hovey は “proper exact sequences” を指定して考えたが, それは実質的には exact category を考えていることになる。 よって, Hovey の理論は exact category で考える方が自然である。 Triangulated category でも考えることができる。

• exact category 上の model structure と cotorsion pair の対応 [Gil11]
• triangulated category 上の model structure と cotorsion pair の対 応 [Yan15]

更に, Nakaoka [Nak13] は triagulated category で twin cotorsion pair の概念を導入した。Nakaoka と Palu [NP19] exact category と triangulated category の共通の一般化として extriangulated category を導入したが, それに対して も twin cotorsion pair が定義されている。

• twin cotorsion pair

Additive category \(\bm {A}\) での \(\bm {A}(-,-)\) の subfunctor \(\cI (-,-)\) で両側からの任意の morphism の合成で閉じているものを ideal という。 つまり \(\bm {A}\) の morphism の集まりで, 両側からの任意の morphism の合成で閉じているものであるが, そのような morphism の collection に対しても, 「\(\Ext \) に関する直交補空間」 \(\cI ^{\perp }\) や \({}^{\perp }\cI \) を morphism の collection として定義できる。 そして ideal の組 \((\cI ,\cJ )\) とで \(\cI ={}^{\perp }\cJ \) かつ \(\cJ =\cI ^{\perp }\) をみたすものを ideal cotorsion pair という。

• ideal cotorsion pair

Breaz と Modoi [BM21] は, triangulated category での ideal cotorsion pair を調べている。

他に, 一般化や関連した概念として以下のものがある。

• \(n\)-cotorsion pair [HMP21]
• cut cotorsion pair [HMP22]
• cotorsion pair relative to a balanced pair [LWH16]

\(n\)-cotorsion pair は, その後 He と Zhou [HZ22] により extriangulated category に対し定義されたので, その特別な場合として triangulated category にも定義されたことになるが, それとは異なる triangulated category での \(n\)-cotorsion pair を Chang と Zhou [CZ] が定義している。

References

[BM21]

Simion Breaz and George Ciprian Modoi. “Ideal cotorsion theories in triangulated categories”. In: J. Algebra 567 (2021), pp. 475–532. arXiv: 1501.06810. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2020.09.018.

[Che10]

Xiao-Wu Chen. “Homotopy equivalences induced by balanced pairs”. In: J. Algebra 324.10 (2010), pp. 2718–2731. arXiv: 0812.0140. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.09.002.

[CZ]

Huimin Chang and Panyue Zhou. Mutation of \(n\)-cotorsion pairs in triangulated categories. arXiv: 2404.18336.

[EJ11a]

Edgar E. Enochs and Overtoun M. G. Jenda. Relative homological algebra. Volume 1. extended. Vol. 30. De Gruyter Expositions in Mathematics. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2011, pp. xiv+359. isbn: 978-3-11-021520-5.

[EJ11b]

Edgar E. Enochs and Overtoun M. G. Jenda. Relative homological algebra. Volume 2. Vol. 54. De Gruyter Expositions in Mathematics. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2011, pp. xii+96. isbn: 978-3-11-021522-9.

[Gil11]

James Gillespie. “Model structures on exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.12 (2011), pp. 2892–2902. arXiv: 1009.3574. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.04.010.

[Gil15]

James Gillespie. “How to construct a Hovey triple from two cotorsion pairs”. In: Fund. Math. 230.3 (2015), pp. 281–289. arXiv: 1406.2619. url: https://doi.org/10.4064/fm230-3-4.

[HMP21]

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[HMP22]

Mindy Huerta, Octavio Mendoza, and Marco A. Pérez. “Cut cotorsion pairs”. In: Glasg. Math. J. 64.3 (2022), pp. 548–585. arXiv: 2006.11189. url: https://doi.org/10.1017/S0017089521000367.

[Hov02]

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[HZ22]

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[LWH16]

HuanHuan Li, JunFu Wang, and ZhaoYong Huang. “Applications of balanced pairs”. In: Sci. China Math. 59.5 (2016), pp. 861–874. arXiv: 1507.03862. url: https://doi.org/10.1007/s11425-015-5094-1.

[Nak13]

Hiroyuki Nakaoka. “General heart construction for twin torsion pairs on triangulated categories”. In: J. Algebra 374 (2013), pp. 195–215. arXiv: 1111.1820. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2012.10.027.

[NP19]

Hiroyuki Nakaoka and Yann Palu. “Extriangulated categories, Hovey twin cotorsion pairs and model structures”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 60.2 (2019), pp. 117–193. arXiv: 1605.05607.

[Sal79]

Luigi Salce. “Cotorsion theories for abelian groups”. In: Symposia Mathematica, Vol. XXIII (Conf. Abelian Groups and their Relationship to the Theory of Modules, INDAM, Rome, 1977). Academic Press, London-New York, 1979, pp. 11–32.

[Sar20]

Maru Sarazola. “Cotorsion pairs and a K-theory localization theorem”. In: J. Pure Appl. Algebra 224.11 (2020), pp. 106399, 29. arXiv: 1911.00613. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2020.106399.

[Yan15]

Xiaoyan Yang. “Model structures on triangulated categories”. In: Glasg. Math. J. 57.2 (2015), pp. 263–284. url: https://doi.org/10.1017/S0017089514000299.