Quantum Automorphism Groups

群は, 数学的構造の automorphism を記述するものだから, 群の非可換版, すなわち量子群を, 対称性を調べるのに使おうという人が現れても不思議ではない。

Finite space に類似の構造の quantum automorphism group は, [Wan98; BM07; BB07] などで調べられている。 有限集合の場合は対称群の quantum version と考えられるが, それは Wang の [Wan98]で generator と relation で定義されている。 これが, quantum automorphism group を調べた最初なのだろうか。

Finite metric space の場合は, quantum isometry group と言うべきかもしれないが, それを調べたものとして, Banica の [Ban05b] がある。更に, それは graph など, 組み合せ論的対象の quantum automorphism group へと一般化されている。[Bic03; Ban05a] など。Survey として, Banica と Bichon と Collins の [BBC07b] がある。

• finite metric space の quantum automorphism group
• graph などの quantum automorphism group

ただし, finite metric space は Hausdorff なので, 位相空間としては離散位相を持つことになる。 Finite \(T_0\)-space の quantum automorphism group 定義できれば面白いと思うが。

Banica と Bichon は [BB07] で graph の quantum automorphism group について, amalgamated product の公式を証明している。彼等は, [BBC07a] で quantum automorphism group が通常の automorphism group と一致するような graph について調べている。

Quantum group の quantum automorphism group も考えられている。 Finite quantum group の quantum automorphism group は Bhowmick, Skalski, Sołtan の [BSS15] で導入された。ただ, Kasprzak らの [KSW15] によると普通の群になってしまうようであるが。

References

[Ban05a]

Teodor Banica. “Quantum automorphism groups of homogeneous graphs”. In: J. Funct. Anal. 224.2 (2005), pp. 243–280. arXiv: math/0311402. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2004.11.002.

[Ban05b]

Teodor Banica. “Quantum automorphism groups of small metric spaces”. In: Pacific J. Math. 219.1 (2005), pp. 27–51. arXiv: math/ 0304025. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2005.219.27.

[BB07]

Teodor Banica and Julien Bichon. “Free product formulae for quantum permutation groups”. In: J. Inst. Math. Jussieu 6.3 (2007), pp. 381–414. arXiv: math/0503461. url: http://dx.doi.org/10.1017/S1474748007000072.

[BBC07a]

Teodor Banica, Julien Bichon, and Gaëtan Chenevier. “Graphs having no quantum symmetry”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 57.3 (2007), pp. 955–971. arXiv: math/0605257. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2007__57_3_955_0.

[BBC07b]

Teodor Banica, Julien Bichon, and Benoı̂t Collins. “Quantum permutation groups: a survey”. In: Noncommutative harmonic analysis with applications to probability. Vol. 78. Banach Center Publ. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2007, pp. 13–34. arXiv: math/0612724. url: http://dx.doi.org/10.4064/bc78-0-1.

[Bic03]

Julien Bichon. “Quantum automorphism groups of finite graphs”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 131.3 (2003), 665–673 (electronic). arXiv: math/9902029. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-02-06798-9.

[BM07]

Teodor Banica and Sergiu Moroianu. “On the structure of quantum permutation groups”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 135.1 (2007), pp. 21–29. arXiv: math/0411576. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-06-08464-4.

[BSS15]

Jyotishman Bhowmick, Adam Skalski, and Piotr M. Sołtan. “Quantum group of automorphisms of a finite quantum group”. In: J. Algebra 423 (2015), pp. 514–537. arXiv: 1406.0862. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.10.032.

[KSW15]

Paweł Kasprzak, Piotr M. Sołtan, and Stanisław L. Woronowicz. “Quantum automorphism groups of finite quantum groups are classical”. In: J. Geom. Phys. 89 (2015), pp. 32–37. arXiv: 1410.1404. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2014.12.006.

[Wan98]

Shuzhou Wang. “Quantum symmetry groups of finite spaces”. In: Comm. Math. Phys. 195.1 (1998), pp. 195–211. arXiv: math / 9807091. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050385.