Automorphism Groups

同型の概念を考える正しい場は, 圏である。 写像と合成と恒等写像の類似があれば定義できるからである。 よって任意の圏 \(\bm {C}\) の object \(X\) に対し, \(X\) の \(\bm {C}\) での自己同型の成す群 \(\mathrm {Aut}_{\bm {C}}(X)\), つまり automorphism group が定義される。

逆に, 与えられた群がある圏のある object の automorphism group として表されるか, というのも自然な疑問である。 実際, 様々人によって考えられている。 例えば, Galois 群として定義できるか, というのが, 有名な inverse Galois problem である。

• Galois 群
• inverse Galois problem

一般に, どんな群も圏 \(\bm {C}\) のある object の automorphism group と同型になるとき, \(\bm {C}\) は universal category である, というらしい。 任意の有限群が automorphism group として実現できるときは, finitely universal category という。任意の可算群が automorphism group として実現できるときには, countably universal という。 Díaz Ramos, Molinier, Viruel [RMV] は, [Bab95] の §4.1 を参照している。

• universal category
• finitely universal category
• countably universal category

Díaz Ramos らの論文の Introduction に, 次のような例が挙げられている。

• simple graph の圏は universal [Fru39; Gro59; Sab60]
• 任意の体上の associative algebra の圏は finitely universal [Cos+22]
• rational elliptic space の圏は universal [CV14]
• 次元 \(2\) 以上の双曲多様体の圏は finitely universal [BL05]

彼等自身は, partial group の圏が universal であることを示している。その動機は, 群の圏が finitely universal でもないことのようである。

Gareth Jones [Jon20] によると, 有限群は dessin d’enfant の automorphism group としても実現できるようである。 Viruel は, Cañas, Hidalgo, Javier Turiel と共に [Cañ+] で noncompact dessen d’enfants の automorphism group として任意の可算群が実現できることを示している。

群の圏では, 特別な automorphism として innner automorphism があるが, Parker [Par] によると, その圏論的特徴付けが, Schupp [Sch87] と Bergman [Ber12] により得られている。 Parker は, 群の圏に値を持つ presheaf の圏の場合を調べている。

群の一般化として, quantum group があるが, graph などの組み合せ論的構造の quantum automorphism group も考えられている。

• quantum automorphism group

References

[Bab95]

László Babai. “Automorphism groups, isomorphism, reconstruction”. In: Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2. Elsevier Sci. B. V., Amsterdam, 1995, pp. 1447–1540.

[Ber12]

George M. Bergman. “An inner automorphism is only an inner automorphism, but an inner endomorphism can be something strange”. In: Publ. Mat. 56.1 (2012), pp. 91–126. arXiv: 1001.1391. url: http://dx.doi.org/10.5565/PUBLMAT_56112_04.

[BL05]

Mikhail Belolipetsky and Alexander Lubotzky. “Finite groups and hyperbolic manifolds”. In: Invent. Math. 162.3 (2005), pp. 459–472. arXiv: math/0406607. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0446-z.

[Cañ+]

Alejandro Cañas, Ruben A. Hidalgo, Francisco Javier Turiel, and Antonio Viruel. Groups as automorphisms of dessins d’enfants. arXiv: 2108.00900.

[Cos+22]

Cristina Costoya, Panagiote Ligouras, Alicia Tocino, and Antonio Viruel. “Regular evolution algebras are universally finite”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 150.3 (2022), pp. 919–925. arXiv: 2002.03338. url: https://doi.org/10.1090/proc/15648.

[CV14]

Cristina Costoya and Antonio Viruel. “Every finite group is the group of self-homotopy equivalences of an elliptic space”. In: Acta Math. 213.1 (2014), pp. 49–62. arXiv: 1106 . 1087. url: https://doi.org/10.1007/s11511-014-0115-4.

[Fru39]

R. Frucht. “Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe”. In: Compositio Math. 6 (1939), pp. 239–250. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1939__6__239_0.

[Gro59]

J. de Groot. “Groups represented by homeomorphism groups”. In: Math. Ann. 138 (1959), pp. 80–102. url: https://doi.org/10.1007/BF01369667.

[Jon20]

Gareth Aneurin Jones. “Automorphism groups of maps, hypermaps and dessins”. In: Art Discrete Appl. Math. 3.1 (2020), Paper No. 1.06, 14. arXiv: 1805.09764. url: https://doi.org/10.26493/2590-9770.1275.e77.

[Par]

Jason Parker. Inner automorphisms of presheaves of groups. arXiv: 2107.13989.

[RMV]

Antonio Dı́az Ramos, Rémi Molinier, and Antonio Viruel. Path partial groups. arXiv: 2107.14084.

[Sab60]

Gert Sabidussi. “Graphs with given infinite group”. In: Monatsh. Math. 64 (1960), pp. 64–67. url: https://doi.org/10.1007/BF01319053.

[Sch87]

Paul E. Schupp. “A characterization of inner automorphisms”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 101.2 (1987), pp. 226–228. url: https://doi.org/10.2307/2045986.