Closure Spaces

Closure space は, 位相の概念の一般化の一つであり, 位相空間の closure operator を一般化したものである。 元々 Čech [Čec66] により導入されたもののようである。 Demaria らの [DG84] のように pretopological space と呼ばれることもあるようであるが, ここでは closure space と呼ぶことにする。

最近, Bubenik と Milićević により, 応用トポロジーのために, 位相空間と graph と quiver を含む枠組みとして closure space を使うことが提案され, 色々調べられるようになってきた。

Bubenik と Milićević は, [BMb; BMa; BMc] などで homology を調べている。 彼等は, filtered closure space の枠組みで persistent homology 定義している。

ホモトピーの概念は, Demaria らの [DG84] と Rieser の [Rie21] で単位区間と categorical product を用いて提案されているが, Bubenik と Milićević [BMb] は, 他にも閉区間や product の選択肢もあると言っている。

Rieser は [Rie] で closure space 上の sheaf theory を展開している。

Eschgfäller [Esc] は, finite closure space を finite space を使って近似することを考えている。

Janelidze と Sobral は [JS24] で closure space の descent theory を展開している。

References

[BMa]

Peter Bubenik and Nikola Milićević. Eilenberg-Steenrod homology and cohomology theories for Čech’s closure spaces. arXiv: 2112.13421.

[BMb]

Peter Bubenik and Nikola Milićević. Homotopy, homology, and persistent homology using closure spaces and filtered closure spaces. arXiv: 2104.10206.

[BMc]

Peter Bubenik and Nikola Milićević. Singular homology of roots of unity. arXiv: 2301.00660.

[Čec66]

Eduard Čech. Topological spaces. Revised edition by Zdeněk Frolík and Miroslav Katětov, Scientific editor, Vlastimil Pták, Editor of the English translation, Charles O. Junge. Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, Prague; Interscience Publishers John Wiley & Sons, London-New York-Sydney, 1966, 893 pp. (errata insert).

[DG84]

Davide Carlo Demaria and Rosanna Garbaccio Bogin. “Homotopy and homology in pretopological spaces”. In: Proceedings of the 11th winter school on abstract analysis (Železná Ruda, 1983). Suppl. 3. 1984, pp. 119–126. url: https://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/701298/WSAA_11-1983-1_12.pdf.

[Esc]

Josef Eschgfäller. The topological resolution of a finite closure space. arXiv: 2111.12801.

[JS24]

George Janelidze and Manuela Sobral. “Strict monadic topology II: descent for closure spaces”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 65.3 (2024), pp. 272–293. arXiv: 2310.16636.

[Rie]

Antonio Rieser. Grothendieck Topologies and Sheaves on Čech closure spaces. arXiv: 2109.13867.

[Rie21]

Antonio Rieser. “Čech closure spaces: a unified framework for discrete and continuous homotopy”. In: Topology Appl. 296 (2021), Paper No. 107613, 41. arXiv: 1708.09558. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2021.107613.