関数解析の基礎

\(K\) 理論や \(L^2\) 不変量を始めとして, 代数的トポロジーでも関数解析学の知識が必要になることがある。 また無限次元のベクトル空間を扱う方法を学ぶためにも, 一度は関数解析学の初歩を勉強しておくとよい。

まずは, 関数空間の基礎となる位相ベクトル空間について理解していないといけない。

• normed space や seminormed space などの位相ベクトル空間

そしてそれらの上の線形作用素について。

• bounded operator
• compact operator
• Fredholm operator
• Hilbert-Schmidt operator
• unitary operator
• 無限次元の Hilbert 空間上の unitary operator の成す空間は可縮である。 (Kuiperの定理 [Kui65])

この Kuiper の定理は, twisted \(K\)-theory の定義でも必要になる。

Kuiper の定理の拡張もいくつか考えられている。Popa と Takesaki の [PT93] では, Breuer の [Bre67] と Brüning と Willgerodt の [BW76] が挙げられている。

関数空間の例としては, まず連続関数の成す環を知っておく必要がある。

• \(C^*\) 環の定義

有限次元の場合と異なる理由の一つは, 普通にホモロジー代数ができないことである。 つまり semi-normed space や normed space の圏は Abelian category にならない。 しかし, quasi-Abelian category にはなっているので, 工夫をすればホモロジー代数ができる。このことについては, Schneiders の [Sch99] をみるとよい。

他には, topological vector space ではなく, bornological vector space を使うというアイデアもある。

• bornological vector space

このような困難にもかかわらず, Ben-Bassat と Kremnizer [BK] によると, 関数解析では, 様々な人がホモロジー代数的方法を考えている。Ben-Bassat と Kremnizer の論文では, 以下のものが挙げられている: Helemskii の [Hel06], Meyer の [Mey; Mey07], Cigler, Losert, Michor の [CLM79], Paugam の [Pau], Taylor の [Tay72], そして Wengenroth の [Wen03] など。

ホモロジー代数的な手法は, 作用素環論でも色々用いられているようである。 Connes と Shlyakhtenko の [CS05] によると, von Neumann algebra の homology theory を構築しようという試みは古くからあるようである。Kadison と Ringrose の [KR71a; KR71b; JKR72] など。

References

[BK]

Oren Ben-Bassat and Kobi Kremnizer. Fréchet Modules and Descent. arXiv: 2002.11608.

[Bre67]

Manfred Breuer. “A generalization of Kuiper’s theorem to factors of type \(\mathrm {II}_{\infty }\)”. In: J. Math. Mech. 16 (1967), pp. 917–925.

[BW76]

Jochen Brüning and Wolfgang Willgerodt. “Eine Verallgemeinerung eines Satzes von N. Kuiper”. In: Math. Ann. 220.1 (1976), pp. 47–58.

[CLM79]

Johann Cigler, Viktor Losert, and Peter Michor. Banach modules and functors on categories of Banach spaces. Vol. 46. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. New York: Marcel Dekker Inc., 1979, pp. xv+282. isbn: 0-8247-6867-1.

[CS05]

Alain Connes and Dimitri Shlyakhtenko. “\(L^2\)-homology for von Neumann algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 586 (2005), pp. 125–168. arXiv: math/0309343. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2005.2005.586.125.

[Hel06]

A. Ya. Helemskii. Lectures and exercises on functional analysis. Vol. 233. Translations of Mathematical Monographs. Translated from the 2004 Russian original by S. Akbarov. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006, pp. xviii+468. isbn: 978-0-8218-4098-6; 0-8218-4098-3. url: https://doi.org/10.1090/mmono/233.

[JKR72]

B. E. Johnson, R. V. Kadison, and J. R. Ringrose. “Cohomology of operator algebras. III. Reduction to normal cohomology”. In: Bull. Soc. Math. France 100 (1972), pp. 73–96.

[KR71a]

Richard V. Kadison and John R. Ringrose. “Cohomology of operator algebras. I. Type \(I\) von Neumann algebras”. In: Acta Math. 126 (1971), pp. 227–243.

[KR71b]

Richard V. Kadison and John R. Ringrose. “Cohomology of operator algebras. II. Extended cobounding and the hyperfinite case”. In: Ark. Mat. 9 (1971), pp. 55–63.

[Kui65]

Nicolaas H. Kuiper. “The homotopy type of the unitary group of Hilbert space”. In: Topology 3 (1965), pp. 19–30.

[Mey]

Ralf Meyer. Embeddings of derived categories of bornological modules. arXiv: math/0410596.

[Mey07]

Ralf Meyer. Local and analytic cyclic homology. Vol. 3. EMS Tracts in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2007, pp. viii+360. isbn: 978-3-03719-039-5. url: http://dx.doi.org/10.4171/039.

[Pau]

Frederic Paugam. Global analytic geometry. arXiv: 0803.0148.

[PT93]

Sorin Popa and Masamichi Takesaki. “The topological structure of the unitary and automorphism groups of a factor”. In: Comm. Math. Phys. 155.1 (1993), pp. 93–101. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253201.

[Sch99]

Jean-Pierre Schneiders. “Quasi-abelian categories and sheaves”. In: Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 76 (1999), pp. vi+134.

[Tay72]

Joseph L. Taylor. “Homology and cohomology for topological algebras”. In: Advances in Math. 9 (1972), pp. 137–182.

[Wen03]

Jochen Wengenroth. Derived functors in functional analysis. Vol. 1810. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003, pp. viii+134. isbn: 3-540-00236-7. url: https://doi.org/10.1007/b80165.