Bornology

関数解析で登場するような, 無限次元の ベクトル空間を扱う際には, norm や内積などの構造が重要である。 そのため位相を使って, topological vector space として扱うのが一つの方法であるが, 位相の代わりに bornology という構造を考えることもできる。よって bornological vector space という概念を得る。

• bornological vector space

Bornological vector space の圏は, Hogbe-Nlend により [Hog70] で定義された complete projective bornological tensor product により monoidal category になる。よって monoid object やその上の module が定義される。 これについては, Meyer の thesis [Mey] の section 2.2.3 をみるとよい。

• bornological vector space の成す closed monoidal category
• bornological algebra

Meyer の thesis では, entire cyclic cohomology が定義される algebra の class として, complete bornological algebra が考えられている。 その第2章に bornology に関することがまとめられている。 Ramsey の [Ram13] の §2 にも簡単な説明がある。Block と Daenzer の [BD10] では, Hogbe-Nlend の [Hog70; Hog77] と Houzel の [Hou73] が挙げられている。Meyer によると, Bourbaki [Bou87] にも書いてあるらしい。

Meyer の [Mey04] は, bornology は 非可換幾何学や 表現論の多くの問題に理想的, という文章から始まっているが, それは Block と Daenzer が [BD10] で言っているように, topological vector space で ホモロジー代数を行なおうとするときの困難が解消される, という意味のようである。

彼等は, bornological vector space の圏で enrichされた, dg category (dgb category) などを考えている。

• dgb category

Bornological vector space の圏で考えると, spectral sequence も構成できるようである。 Ramsey の [Ram13] の§3は, chain complex の filtration からの spectral sequence の構成を bornological vector space に翻訳したものである。

Bornology は, Bunke と Engel [BE20] による coarse space のホモロジーの定義域となる \((\infty ,1)\)-category の構成にも使われている。

Borisov と Kremnizer [BK] は, Beilinson-Drinfel\('\)d [BD04] の chiral algebra や factorization algebra を, 代数幾何学から 微分幾何学の文脈に輸入するために使うことを提案している。

Cortiñas, Cuntz, Meyer, Tamme [Cor+18] は, 正標数の体上定義された代数多様体の cohomology である rigid cohomology [Ber86] を与える chain complex を構成するのに用いている。

Voigt [Voi08] により locally compact quantum group を拡張する bornological quantum gorup を定義するためにも用いられている。

Kelly と Mukherjee [KM] は, Banach ring 上の bornological module を analytic geometry の derived 版の基礎として用いることを提案している。

• derived bornological geometry

References

[BD04]

Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld. Chiral algebras. Vol. 51. American Mathematical Society Colloquium Publications. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, p. vi 375. isbn: 0-8218-3528-9.

[BD10]

Jonathan Block and Calder Daenzer. “Mukai duality for gerbes with connection”. In: J. Reine Angew. Math. 639 (2010), pp. 131–171. arXiv: 0803.1529. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2010.014.

[BE20]

Ulrich Bunke and Alexander Engel. Homotopy theory with bornological coarse spaces. Vol. 2269. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, [2020] ©2020, pp. vii+243. isbn: 978-3-030-51335-1; 978-3-030-51334-4. arXiv: 1607.03657. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-51335-1.

[Ber86]

Pierre Berthelot. “Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique \(p\)”. In: Mém. Soc. Math. France (N.S.) 23 (1986). Introductions aux cohomologies \(p\)-adiques (Luminy, 1984), pp. 3, 7–32.

[BK]

Dennis Borisov and Kobi Kremnizer. Quasi-coherent sheaves in differential geometry. arXiv: 1707.01145.

[Bou87]

N. Bourbaki. Topological vector spaces. Chapters 1–5. Elements of Mathematics (Berlin). Translated from the French by H. G. Eggleston and S. Madan. Berlin: Springer-Verlag, 1987, pp. viii+364. isbn: 3-540-13627-4.

[Cor+18]

Guillermo Cortiñas, Joachim Cuntz, Ralf Meyer, and Georg Tamme. “Nonarchimedean bornologies, cyclic homology and rigid cohomology”. In: Doc. Math. 23 (2018), pp. 1197–1245. arXiv: 1708.00357.

[Hog70]

Henri Hogbe-Nlend. “Complétion, tenseurs et nucléarité en bornologie”. In: J. Math. Pures Appl. (9) 49 (1970), pp. 193–288.

[Hog77]

Henri Hogbe-Nlend. Bornologies and functional analysis. Introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis, Translated from the French by V. B. Moscatelli, North-Holland Mathematics Studies, Vol. 26, Notas de Matemática, No. 62. [Notes on Mathematics, No. 62]. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977, pp. xii+144. isbn: 0-7204-0712-5.

[Hou73]

Christian Houzel. “Espaces analytiques relatifs et théorème de finitude”. In: Math. Ann. 205 (1973), pp. 13–54.

[KM]

Jack Kelly and Devarshi Mukherjee. Localising invariants in derived bornological geometry. arXiv: 2505.15750.

[Mey]

Ralf Meyer. Analytic cyclic cohomology. arXiv: math/9906205.

[Mey04]

Ralf Meyer. “Bornological versus topological analysis in metrizable spaces”. In: Banach algebras and their applications. Vol. 363. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 249–278. arXiv: math/0310225.

[Ram13]

Bobby Ramsey. “A spectral sequence for polynomially bounded cohomology”. In: J. Pure Appl. Algebra 217.6 (2013), pp. 1153–1163. arXiv: 0712.3015. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.10.001.

[Voi08]

Christian Voigt. “Bornological quantum groups”. In: Pacific J. Math. 235.1 (2008), pp. 93–135. arXiv: math/0511195. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2008.235.93.