Bornology

関数解析で登場するような, 無限次元のベクトル空間を扱う際には, norm や内積などの構造が重要である。 そのため位相を使って, topological vector space として扱うのが一つの方法であるが, 位相の代わりに bornology という構造を考えることもできる。よって bornological vector space という概念を得る。

• bornological vector space

Meyer の thesis [Mey] では, entire cyclic cohomology が定義される algebra の class として, complete bornological algebra が考えられている。 その第2章に bornology に関することがまとめられている。 Ramsey の [Ram13] の §2 にも簡単な説明がある。Block と Daenzer の [BD10] では, Hogbe-Nlend の [Hog70; Hog77] と Houzel の [Hou73] が挙げられている。Meyer によると, Bourbaki [Bou87] にも書いてあるらしい。

Meyer の [Mey04] は, bornology は, 非可換幾何学や表現論の多くの問題に理想的, という文章から始まっているが, それは Block と Daenzer が [BD10] で言っているように, topological vector space でホモロジー代数を行なおうとするときの困難が解消される, という意味のようである。彼等は, bornological vector space の圏で enrichされた, dg category (dgb category) などを考えている。

• bornological vector space の成す closed monoidal category
• dgb category

Bornological vector space の圏で考えると, spectral sequence も構成できるようである。 Ramsey の [Ram13] の§3は, chain complex の filtration からの spectral sequence の構成を bornological vector space に翻訳したものである。

Bornology は, Bunke と Engel [BE20] による coarse space のホモロジーの定義域となる \((\infty ,1)\)-category の構成にも使われている。

Borisov と Kremnizer [BK] は, Beilinson-Drinfel\('\)d [BD04] の chiral algebra や factorization algebra を 代数幾何から微分幾何の文脈に輸入するために使うことを提案している。

Cortiñas, Cuntz, Meyer, Tamme [Cor+18] は, 正標数の体上定義された代数多様体の cohomology である rigid cohomology [Ber86] を与える chain complex を構成するのに用いている。

Voigt [Voi08] により locally compact quantum group を拡張する bornological quantum gorup を定義するためにも用いられている。

References

[BD04]

Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld. Chiral algebras. Vol. 51. American Mathematical Society Colloquium Publications. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, p. vi 375. isbn: 0-8218-3528-9.

[BD10]

Jonathan Block and Calder Daenzer. “Mukai duality for gerbes with connection”. In: J. Reine Angew. Math. 639 (2010), pp. 131–171. arXiv: 0803.1529. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2010.014.

[BE20]

Ulrich Bunke and Alexander Engel. Homotopy theory with bornological coarse spaces. Vol. 2269. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, [2020] ©2020, pp. vii+243. isbn: 978-3-030-51335-1; 978-3-030-51334-4. arXiv: 1607.03657. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-51335-1.

[Ber86]

Pierre Berthelot. “Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique \(p\)”. In: Mém. Soc. Math. France (N.S.) 23 (1986). Introductions aux cohomologies \(p\)-adiques (Luminy, 1984), pp. 3, 7–32.

[BK]

Dennis Borisov and Kobi Kremnizer. Quasi-coherent sheaves in differential geometry. arXiv: 1707.01145.

[Bou87]

N. Bourbaki. Topological vector spaces. Chapters 1–5. Elements of Mathematics (Berlin). Translated from the French by H. G. Eggleston and S. Madan. Berlin: Springer-Verlag, 1987, pp. viii+364. isbn: 3-540-13627-4.

[Cor+18]

Guillermo Cortiñas, Joachim Cuntz, Ralf Meyer, and Georg Tamme. “Nonarchimedean bornologies, cyclic homology and rigid cohomology”. In: Doc. Math. 23 (2018), pp. 1197–1245. arXiv: 1708. 00357.

[Hog70]

Henri Hogbe-Nlend. “Complétion, tenseurs et nucléarité en bornologie”. In: J. Math. Pures Appl. (9) 49 (1970), pp. 193–288.

[Hog77]

Henri Hogbe-Nlend. Bornologies and functional analysis. Introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis, Translated from the French by V. B. Moscatelli, North-Holland Mathematics Studies, Vol. 26, Notas de Matemática, No. 62. [Notes on Mathematics, No. 62]. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977, pp. xii+144. isbn: 0-7204-0712-5.

[Hou73]

Christian Houzel. “Espaces analytiques relatifs et théorème de finitude”. In: Math. Ann. 205 (1973), pp. 13–54.

[Mey]

Ralf Meyer. Analytic cyclic cohomology. arXiv: math/9906205.

[Mey04]

Ralf Meyer. “Bornological versus topological analysis in metrizable spaces”. In: Banach algebras and their applications. Vol. 363. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 249–278. arXiv: math/0310225.

[Ram13]

Bobby Ramsey. “A spectral sequence for polynomially bounded cohomology”. In: J. Pure Appl. Algebra 217.6 (2013), pp. 1153–1163. arXiv: 0712.3015. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.10.001.

[Voi08]

Christian Voigt. “Bornological quantum groups”. In: Pacific J. Math. 235.1 (2008), pp. 93–135. arXiv: math / 0511195. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2008.235.93.