Semi-abelian category

“Semi-abelian category” という名前の概念は, 何度も別の人によって独立に定義されてきた。 一つは, Janelidze と Márki と Tholen により [JMT02] で導入されたものであり, 他にも Palamodov [Pal68; Pal71] により導入されたものなどがある。 Kopylov と Wegner は [KW] で, この種の Abelian category の一般化についての歴史的なことや文献については Rump の [Rum08] を見るように言っている。

以下, Janelidze と Márki と Tholen のものを, semi-abelian category と呼ぶことにする。

この Rump の論文は, semi-abelian category が quasi-abelian category になる, という Raĭkov の予想に関するものである。Raĭkov の予想には反例が発見されている。

• quasi-abelian category

Janelidze と Márki と Tholen の semi-abelian category については, Borceux と Bourn の本 [BB04] がある。Van der Linden の thesis [Lina] の Chapter 1を見るのが手っ取り早いかもしれない。 Hartl と Loiseau の [HL] もある。

• Barr exact category
• Mal’tsev category
• protomodular category
• homological category
• Janelidze-Márki-Tholen semi-abelian category

Janelidze と Márki と Tholen の元の論文 [JMT02] によると, アイデアは, Abelian category を \[ \text{Barr-exact} + \text{additive} = \text{Abelian}. \] とみなし, その中の additivity の条件を弱めることのようである。

もともと, 群や Lie algebra の(コ)ホモロジーを調べるために考えられたものらしいが, 実際に semi-abelian category での(コ)ホモロジーの性質を調べているのが, Gran と Van der Linden の [GLb], そして Goedecke と Van der Linden の [GLa] である。Van der Linden は, [Linb; Lina] で semi-abelian category の simplicial object の圏の model structure について調べている。 より一般の semi-abelian category の図式の category が semi-abelian になるということは, Hartl と Loiseau の [HL] にある。

Van der Linden らは, [EGL] で Brown と Ellis や Donadze と Inassaridze と Porter の [DIP05] で証明された 群のコホモロジー の higher Hopf formula を semi-abelian category に一般化している。

Semi-abelian category の間の functor としては, 何を考えればいいのだろうか? Everaert と Gran [EG10; EG] は, additive functor の代わりに protoadditive functor という概念を導入することを提案している。

Gray と van der Linden [GLc] によると, central extension の一般化を semi-abelian category で考えるためには少し仮定が必要であり, そのような仮定を入れたものが Bourn [Bou] により導入された peri-abelian category らしい。

• peri-abelian category

References

[BB04]

Francis Borceux and Dominique Bourn. Mal’cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Vol. 566. Mathematics and its Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004, pp. xiv+479. isbn: 1-4020-1961-0.

[Bou]

Dominique Bourn. The cohomological comparison arising from the associated abelian object. arXiv: 1001.0905.

[DIP05]

Guram Donadze, Nick Inassaridze, and Timothy Porter. “\(N\)-fold Čech derived functors and generalised Hopf type formulas”. In: \(K\)-Theory 35.3-4 (2005), 341–373 (2006). arXiv: math/0303050. url: https://doi.org/10.1007/s10977-005-3115-5.

[EG]

Tomas Everaert and Marino Gran. Protoadditive functors, derived torsion theories and homology. arXiv: 1111.5448.

[EG10]

Tomas Everaert and Marino Gran. “Homology of \(n\)-fold groupoids”. In: Theory Appl. Categ. 23 (2010), No. 2, 22–41.

[EGL]

Tomas Everaert, Marino Gran, and Tim Van der Linden. Higher Hopf formulae for homology via Galois Theory. arXiv: math/0701815.

[GLa]

Julia Goedecke and Tim Van der Linden. On satellites in semi-abelian categories: Homology without projectives. arXiv: 0808.2798.

[GLb]

Marino Gran and Tim Van der Linden. On the second cohomology group in semi-abelian categories. arXiv: math/0511357.

[GLc]

James R. A. Gray and Tim Van der Linden. Peri-abelian categories and the universal central extension condition. arXiv: 1404.3067.

[HL]

Manfred Hartl and Bruno Loiseau. A “working mathematician’s” definition of semi-abelian categories. arXiv: 0905.4941.

[JMT02]

George Janelidze, László Márki, and Walter Tholen. “Semi-abelian categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 168.2-3 (2002). Category theory 1999 (Coimbra), pp. 367–386. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(01)00103-7.

[KW]

Yaroslav Kopylov and Sven-Ake Wegner. On the notion of a semi-abelian category in the sense of Palamodov. arXiv: 1406.6804.

[Lina]

Tim Van der Linden. Homology and homotopy in semi-abelian categories. arXiv: math/0607100.

[Linb]

Tim Van der Linden. Simplicial homotopy in semi-abelian categories. arXiv: math/0607076.

[Pal68]

V. P. Palamodov. “The projective limit functor in the category of topological linear spaces”. In: Mat. Sb. (N.S.) 75 (117) (1968), pp. 567–603.

[Pal71]

V. P. Palamodov. “Homological methods in the theory of locally convex spaces”. In: Uspehi Mat. Nauk 26.1(157) (1971), pp. 3–65.

[Rum08]

Wolfgang Rump. “A counterexample to Raikov’s conjecture”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 40.6 (2008), pp. 985–994. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdn080.