Chromatic 現象を調べるための基本的な概念と道具

安定ホモトピー論における chromatic filtration を理解するため道具として, 古典的には以下のものが使われてきた。

• 複素コボルディズムおよび \(\mathrm {BP}\)
• Morava \(K\)-theory \(K(n)\) と Lubin-Tate theory \(E_n\)
• truncated \(\mathrm {BP}\) spectrum \(\mathrm {BP}\langle n\rangle \)
• Johnson-Wilson spectrum \(E(n)\) と \(P(n)\)
• Adams-Novikov spectral sequence

参考文献は, まずは Ravenel の本 [Rav03] と Wilson の Sampler [Wil82] を挙げるべきだろう。

\(E_n\) 以外のものの間の関係については, Johnson と Wilson の [JW75] で Bockstein spectral sequence を構成したりして調べられている。

Morava \(K\)-theory については, Würgler の解説 [Wür91] もある。 \(K(n)\) や \(E(n)\) に関し局所的な spectrum の成す圏の構造は, Hovey と Strickland の [HS99] で調べられている。 最近のものでは, Peterson の [Pet19] がある。

Truncated Brown-Peterson spectrum \(\mathrm {BP}\langle 2\rangle \) を \(E_{\infty }\)-ring spectrum として構成しようとしているのは, Lawson と Naumann [LN12] である。彼等は, [LN14] で \(\mathrm {tmf}\) からの morphism を構成している。

より一般に \(\mathrm {MU}\) から構成された cohomology theory の間の関係を調べたものとして, Wüthrich の [Wüt05] がある。最近では, Angeltveit と Lind が \(\mathrm {BP}\langle n\rangle \) の mod \(p\) cohomology の Steenrod algebra 上の module の構造を用いた特徴付けを得ている。

Morava \(E\)-theory \(E_n\) と \(\mathrm {BP}\) の関係については, Barthel と Stapleton の [BS17] がある。\(\mathrm {BP}\) が \(E_{n}\) 達の積の retract であることが示されている。

より古典的なものとしては, complex \(K\)-theory がある。最近では, elliptic cohomology (\(\mathrm {tmf}\)) など。

• \(K\)-theory
• elliptic cohomology

他にも, 関連した spectrum は, 多数構成されている。Baker は \(K(n)\) と \(E(n)\) の間を埋める \(E(n)\)-module spectrum の列を [Bak91] で構成している。 その改良及び一般化をしているのが, Wüthrich の [Wüt08] である。

\(K(n)\) は ring spectrum になるが, その構造について Angeltveit が [Ang11] で調べている。 現代的な言葉では \(S\)-algebra の構造の成す moduli space を調べることになるが, Angeltveit はその moduli space が連結であることを示している。

元々, \(K(n)\) は Morava により Baas-Sullivan construction により, \(\mathrm {MU}\) から構成されたが, \(S\)-algebra structure の moduli space のようなものを議論をするためには, このような1970年代のテクニックによる定義では無理がある。 Lubin-Tate spectrum \(E_{n}\) も含めた現代的な扱いとしては, Hopkins と Lurie の [HL] や Lurie の [Lur] の Chapter 5 を見るべきだろう。 これらは長いので読むのに時間がかかるが, Barthel と Pstragowski の [BP] の Part 1 は, 簡潔にまとめられているので, 手っ取り早く学ぶのには良いと思う。そこでは, 古典的な \(K(n)\) は minimal Morava \(K\)-theory と呼ばれている。

\(v_1\)-periodicな部分は, より自然な \(K\)-theory や \(\Ima J\) などで調べられてきた。 \(v_2\)-periodic な部分について, 楕円コホモロジーがどれだけ有効かは興味深い。

一般の \(v_n\) も含めた議論をするためには, \(E(n)\) に関する局所化 \(L_n(-)\) を用いる。Chromatic convergence theorem により, \(L_nX\) を \(n\) に関して集めれば finite spectrum \(X\) が復元できるし, さらには \(K(n)\) に関する局所化に帰着される。

• \(E(n)\) に関する局所化\( L_n(-)\)
• \(K(n)\) に関する局所化 \(L_{K(n)}(-)\)

\(n=1\) の場合は, Bousfield [Bou79; Bou85] や Ravenel [Rav84] により調べられている。特に sphere spectrum の localization とそのホモトピー群は完全に分かっている。 \(n=2\) のとき, ホモトピー群は下村ら [SY95; SW02] により計算されている。 別のアプローチを見つけ, 特に \(p=3\) の場合に, その計算を確認および 結果を再構築しようというのが, Mahowald らの [Goe+05; HKM13] である。

\(v_n\)-periodic な部分と \(v_{n+1}\)-periodic な部分を関連づけるために, algebraic \(K\)-theory が使えると予想しているのは, Rognes である。

• Rognes の red-shift conjecture

調べる対象は finite spectrum であるが, それに対し以下の概念がある。

• type \(n\) complex

Goerss や Mahowald らが [Goe+05] で書いているように, Hopkins の登場以降, stable homotopy theory, 特に chromatic 現象に関する研究は, formal group law の moduli stack の研究に重きが置かれるようになってきた。 その上の quasi-coherent sheaf を調べるなど, 代数幾何学的な手法, そして数論の結果などが重要な役割を果している。 Rognes の [Rog] の Introduction が分かりやすい。 Smithling の thesis [Smi11] もみるとよい。

• Honda formal group law
• Morava stabilizer group \(\mathbb {S}_n\)
• Hopkins-Miller theorem [Rez98] とその Goerss-Hopkins [GH04] による拡張

\(E_n\) の構成については, この Math Overflow の質問に対する Tyler Lawson の答えが参考になる。

Lawson は [Law10] で Zink の display [Zin02] を使うことを考えている。

Hopkins-Miller-Goerss theorem により, \(E_n\) は \(E_{\infty }\)-ring spectrum として構成でき, Morava stabilizer group \(\mathbb {S}_n\) が作用する。 Behrens と Hopkins [BH11] は, \(\mathbb {S}_n\) の maximal subgroup \(G\) を取り homotopy fixed point \(EO_n=E_n^{hG}\) を higher real \(K\)-theory と呼んでいる。\(\mathbb {S}_n\) の maximal subgroup は Hewett [Hew95] により決定されているらしい。彼等は, \(\mathrm {EO}_{n}\) と topological automorphic form との関係を調べている。

この MathOverflow の質問で, \(E_{n}\) が formal group law に依らず height (と perfect field) のみに依るのか, ということが聞かれているが, それに対する回答が, Eric Peterson と Luecke により [LP] という論文になっている。

半直積 \(G_n=\mathbb {S}_n\rtimes \mathrm {Gal}(\F _{p^n}/\F _p)\) による homotopy fixed point spectrum は \(K(n)\)-localization を表わすのにも使える。 Devinatz と Hopkins の [DH04] や Davis らの [Dav06; BD10; DT12] など。

References

[Ang11]

Vigleik Angeltveit. “Uniqueness of Morava \(K\)-theory”. In: Compos. Math. 147.2 (2011), pp. 633–648. arXiv: 0810 . 5032. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X10005026.

[Bak91]

Andrew Baker. “\(A_{\infty }\) structures on some spectra related to Morava \(K\)-theories”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 42.168 (1991), pp. 403–419. url: http://dx.doi.org/10.1093/qmath/42.1.403.

[BD10]

Mark Behrens and Daniel G. Davis. “The homotopy fixed point spectra of profinite Galois extensions”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.9 (2010), pp. 4983–5042. arXiv: 0808 . 1092. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-10-05154-8.

[BH11]

M. Behrens and M. J. Hopkins. “Higher real \(K\)-theories and topological automorphic forms”. In: J. Topol. 4.1 (2011), pp. 39–72. arXiv: 0910.0617. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtq034.

[Bou79]

A. K. Bousfield. “The localization of spectra with respect to homology”. In: Topology 18.4 (1979), pp. 257–281. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(79)90018-1.

[Bou85]

A. K. Bousfield. “On the homotopy theory of \(K\)-local spectra at an odd prime”. In: Amer. J. Math. 107.4 (1985), pp. 895–932. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374361.

[BP]

Tobias Barthel and Piotr Pstrągowski. Morava \(K\)-theory and Filtrations by Powers. arXiv: 2111.06379.

[BS17]

Tobias Barthel and Nathaniel Stapleton. “Brown-Peterson cohomology from Morava \(E\)-theory”. In: Compos. Math. 153.4 (2017). With an appendix by Jeremy Hahn, pp. 780–819. arXiv: 1509. 05678. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X16008241.

[Dav06]

Daniel G. Davis. “Homotopy fixed points for \(L_{K(n)}(E_{n}\wedge X)\) using the continuous action”. In: J. Pure Appl. Algebra 206.3 (2006), pp. 322–354. arXiv: math / 0501474. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2005.06.022.

[DH04]

Ethan S. Devinatz and Michael J. Hopkins. “Homotopy fixed point spectra for closed subgroups of the Morava stabilizer groups”. In: Topology 43.1 (2004), pp. 1–47. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00029-6.

[DT12]

Daniel G. Davis and Takeshi Torii. “Every \(K(n)\)-local spectrum is the homotopy fixed points of its Morava module”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 140.3 (2012), pp. 1097–1103. arXiv: 1101.5201. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-2011-11189-4.

[GH04]

P. G. Goerss and M. J. Hopkins. “Moduli spaces of commutative ring spectra”. In: Structured ring spectra. Vol. 315. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 151–200. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511529955.009.

[Goe+05]

P. Goerss, H.-W. Henn, M. Mahowald, and C. Rezk. “A resolution of the \(K(2)\)-local sphere at the prime 3”. In: Ann. of Math. (2) 162.2 (2005), pp. 777–822. arXiv: 0706 . 2175. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.162.777.

[Hew95]

Thomas Hewett. “Finite subgroups of division algebras over local fields”. In: J. Algebra 173.3 (1995), pp. 518–548. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1995.1101.

[HKM13]

Hans-Werner Henn, Nasko Karamanov, and Mark Mahowald. “The homotopy of the \(K(2)\)-local Moore spectrum at the prime 3 revisited”. In: Math. Z. 275.3-4 (2013), pp. 953–1004. arXiv: 0811.0235. url: https://doi.org/10.1007/s00209-013-1167-4.

[HL]

Michael Hopkins and Jacob Lurie. On Brauer Groups of Lubin-Tate Spectra I. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/Brauer.pdf.

[HS99]

Mark Hovey and Neil P. Strickland. “Morava \(K\)-theories and localisation”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 139.666 (1999), pp. viii+100. url: https://doi.org/10.1090/memo/0666.

[JW75]

David Copeland Johnson and W. Stephen Wilson. “\(BP\) operations and Morava’s extraordinary \(K\)-theories”. In: Math. Z. 144.1 (1975), pp. 55–75.

[Law10]

Tyler Lawson. “Structured ring spectra and displays”. In: Geom. Topol. 14.2 (2010), pp. 1111–1127. arXiv: 0912 . 5094. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.1111.

[LN12]

Tyler Lawson and Niko Naumann. “Commutativity conditions for truncated Brown-Peterson spectra of height 2”. In: J. Topol. 5.1 (2012), pp. 137–168. arXiv: 1101 . 3897. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtr030.

[LN14]

Tyler Lawson and Niko Naumann. “Strictly commutative realizations of diagrams over the Steenrod algebra and topological modular forms at the prime 2”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 10 (2014), pp. 2773–2813. arXiv: 1203 . 1696. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnt010.

[LP]

Kiran Luecke and Eric Peterson. There aren’t that many Morava E-theories. arXiv: 2202.03485.

[Lur]

Jacob Lurie. Elliptic Cohomology II: Orientations. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/Elliptic-II.pdf.

[Pet19]

Eric Peterson. Formal geometry and bordism operations. Vol. 177. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. With a foreword by Matthew Ando. Cambridge University Press, Cambridge, 2019, pp. xiv+405. isbn: 978-1-108-42803-3.

[Rav03]

Douglas C. Ravenel. Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres. 2nd ed. American Mathematical Society, Nov. 2003. isbn: 9780821829677.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.

[Rez98]

Charles Rezk. “Notes on the Hopkins-Miller theorem”. In: Homotopy theory via algebraic geometry and group representations (Evanston, IL, 1997). Vol. 220. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998, pp. 313–366. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/220/03107.

[Rog]

John Rognes. Galois extensions of structured ring spectra. arXiv: math/0502183.

[Smi11]

Brian D. Smithling. “On the moduli stack of commutative, 1-parameter formal groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.4 (2011), pp. 368–397. arXiv: 0708.3326. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.04.024.

[SW02]

Katsumi Shimomura and Xiangjun Wang. “The homotopy groups \(\pi _{*}(L_{2}S^{0})\) at the prime 3”. In: Topology 41.6 (2002), pp. 1183–1198. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00033-7.

[SY95]

Katsumi Shimomura and Atsuko Yabe. “The homotopy groups \(\pi _{*}(L_{2}S^{0})\)”. In: Topology 34.2 (1995), pp. 261–289. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(94)00032-G.

[Wil82]

W. Stephen Wilson. Brown-Peterson homology: an introduction and sampler. Vol. 48. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Washington, D.C.: Conference Board of the Mathematical Sciences, 1982, pp. v+86. isbn: 0-8219-1699-3.

[Wür91]

Urs Würgler. “Morava \(K\)-theories: a survey”. In: Algebraic topology Poznań 1989. Vol. 1474. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1991, pp. 111–138. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0084741.

[Wüt05]

Samuel Wüthrich. “\(I\)-adic towers in topology”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), pp. 1589–1635. arXiv: math / 0411409. url: https://doi.org/10.2140/agt.2005.5.1589.

[Wüt08]

Samuel Wüthrich. “Infinitesimal thickenings of Morava \(K\)-theories”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.1 (2008), pp. 99–121. arXiv: math/ 0607110. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.05.007.

[Zin02]

Thomas Zink. “The display of a formal \(p\)-divisible group”. In: Astérisque 278 (2002). Cohomologies \(p\)-adiques et applications arithmétiques, I, pp. 127–248.