Nilpotence Theorem and Related Topics

ここで言う nilpotence とは, 安定ホモトピー論, つまり, 安定ホモトピー群での nilpotence である。その意味での nilpotence theorem としては, まず西田の nilpotence theorem [Nis73] を挙げるべきだろう。 もちろん1980年代後半以降の, 安定ホモトピー論の発展の切っ掛けになったのは, Ravenel の [Rav84] での洞察, そしてそれに基づいた Hopkins と彼の共同研究者による nilpotence theorem [DHS88; HS98] の証明であるが。

Nilpotence theorem とその周辺については, もちろん Ravenel の本 [Rav92a] がまず第1の文献である。Hopkins による survey [Hop87] も, 少し古いが参考になる。Hopkins らの仕事の切っ掛けとなった Ravenel の論文 [Rav84] にも目を通しておくべきである。 非常に簡潔にまとめられた解説としては Chebolu の [Che06b] がある。

Popović の essay [Pop] は基本的なところから書いてあり, 最初に読むのにいいかもしれない。最後に Hopkins らの nilpotence theorem から Nishida の nilpotence theorem をどのように導くかについても書いてある。

Hopkins らの nilpotence theorem について理解するためには, まず Morava \(K\)-theory などの道具が必要になる。

• \(K(n)\) や \(E(n)\) などの chromatic 現象を調べるための道具
• spectrum \(X\) の \(E(n)\) に関する localization \(L_{n}X\)
• Chromatic convergence theorem ([Rav84; HR92]), つまり finite \(p\)-local spectrum \(X\) に対し \[ X \simeq \holim _n L_nX \] ただし \(L_nX\) は \(X\) の \(E(n)\) に関する Bousfield localization である。
• Finite \(p\)-local spectrum \(X\) に対し homotopy pullback diagram \[ \xymatrix { L_nX \ar [r] \ar [d] & L_{K(n)}X \ar [d] \\ L_{n-1}X \ar [r] & L_{n-1}L_{K(n)}X } \] がある。([Goe+05] によると Hovey の [Hov95] に implicit に含まれている。)

この chrmatic convergence theorem により, stable homotopy category における情報を, 各 \(E(n)\) で localize して考えてもよいことが保証される。 そしてこの homotopy pullback diagram により, \(K(n)\)-local な部分が, building block になっていることがわかる。つまり, stable homotopy category を \(v_n\)-periodic な部分に分解して考えてよいことになる。

Chromatic convergence theorem は finite spectrum に関するものであるが, Barthel [Bar16] は finite projective \(\mathrm {BP}\)-dimension を持つ connective spectrum に対しては, chromatic convergence theorem が成り立つことを示している。

逆に, stable homotopy category の構造自身が \(v_n\)-periodic な情報で統率されているというのが, thick subcategory theorem である。

• Thick subcategory theorem, つまり stable homotopy category の thick subcategory は, ある \(n\) に関し \(K(n)_*(X)=0\) である spectrum の圏と一致する。

Thick subcategory theorem の精密化について, Chebolu が [Che06a] で考察している。

\(K(n-1)_{*}(X)=0\) かつ \(K(n)_{*}(X)\) が非自明になる finite spectrum を type \(n\) complex というが, type \(n\) complex が \(v_{n}\)-self-map を持つというのが, Hopkins と Smith [HS98] の periodicity theorem である。Ravenel の本 [Rav92a] の Chapter 6 は, この periodicity theorem に割かれている。

• type \(n\) complex と \(v_{n}\)-self map
• periodicity theorem

Ravenel の [Rav84] に登場した予想で Hopkins らによって証明されなかったのが, telescope conjecture である。

• telescope conjecture

Periodicity theorem により, type \(n\) complex \(X\) は \(v_{n}\)-self-map を持つが, その telescope と \(L_{n}X\) の Bousfield class が同じである, という予想である。

\(n=1\) のとき, \(p=2\) の場合は Mahowald [Mah81; Mah82], 奇素数の場合は Haynes Miller [Mil81] により成り立つことが示されている。

\(n=2\) のときに成り立たなさそうであることは, 既に Ravenel 自身気がついていた [Rav92b] が, 証明には至っていなかった。 このときの事情については, Beaudry らの [Bea+21] の Introduction を読むとよい。

この Quanta Magazine の記事によると, 一般に \(n\ge 2\) で成り立たないことが, Levy, Burklund, Hahn, Schlank の4人により, 最近示されたようである。arXiv にも論文 [2310。17459] が出た。

Mahanta の [Mah17] で, Nishida の nilpotence theorem の equivariant版が, Iriye [Iri83] により得られていることを知った。

Blumberg と Mandell の [BM17]は stable homotopy category を “spectral motif の圏” にした version とみなすべきなのだろうか。

Mathiew, Naumann, Noel の [MNN15] では, \(H_{\infty }\)-ring spectrum に対し, その Hurewicz準同型の kernel の元が全て nilpotent であることが, 示されている。Nishida の証明で extended power が使われていることから, これも自然な Nishida の定理の拡張である。

一般化や類似も色々考えられていて, Balmer の [Bal20] には, Neeman の [Nee92], Thomason の [Tho97], Benson らの [BCR97], Friedlander と Pevtsova の [FP07], Mathew の [Mat17] が挙げられている。

Balmer 自身は, この論文でこれらの場合を統一的にあつかうことができるようになったと言っている。

References

[Bal20]

Paul Balmer. “Nilpotence theorems via homological residue fields”. In: Tunis. J. Math. 2.2 (2020), pp. 359–378. arXiv: 1710.04799. url: https://doi.org/10.2140/tunis.2020.2.359.

[Bar16]

Tobias Barthel. “Chromatic completion”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 144.5 (2016), pp. 2263–2274. arXiv: 1411.1711. url: https://doi.org/10.1090/proc/12867.

[BCR97]

D. J. Benson, Jon F. Carlson, and Jeremy Rickard. “Thick subcategories of the stable module category”. In: Fund. Math. 153.1 (1997), pp. 59–80.

[Bea+21]

Agnès Beaudry, Mark Behrens, Prasit Bhattacharya, Dominic Culver, and Zhouli Xu. “The telescope conjecture at height 2 and the tmf resolution”. In: J. Topol. 14.4 (2021), pp. 1243–1320. arXiv: 1909.13379. url: https://doi.org/10.1112/topo.12208.

[BM17]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “The nilpotence theorem for the algebraic \(K\)-theory of the sphere spectrum”. In: Geom. Topol. 21.6 (2017), pp. 3453–3466. arXiv: 1405.6112. url: https://doi.org/10.2140/gt.2017.21.3453.

[Che06a]

Sunil K. Chebolu. “Refining thick subcategory theorems”. In: Fund. Math. 189.1 (2006), pp. 61–97. arXiv: math/0508101. url: http://dx.doi.org/10.4064/fm189-1-5.

[Che06b]

Sunil K. Chebolu. “Thick subcategories in stable homotopy theory”. In: Oberwolfach Report 8 (2006), pp. 12–20. arXiv: math/0607245.

[DHS88]

Ethan S. Devinatz, Michael J. Hopkins, and Jeffrey H. Smith. “Nilpotence and stable homotopy theory. I”. In: Ann. of Math. (2) 128.2 (1988), pp. 207–241. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971440.

[FP07]

Eric M. Friedlander and Julia Pevtsova. “\(\Pi \)-supports for modules for finite group schemes”. In: Duke Math. J. 139.2 (2007), pp. 317–368. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-07-13923-1.

[Goe+05]

P. Goerss, H.-W. Henn, M. Mahowald, and C. Rezk. “A resolution of the \(K(2)\)-local sphere at the prime 3”. In: Ann. of Math. (2) 162.2 (2005), pp. 777–822. arXiv: 0706.2175. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.162.777.

[Hop87]

Michael J. Hopkins. “Global methods in homotopy theory”. In: Homotopy theory (Durham, 1985). Vol. 117. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987, pp. 73–96.

[Hov95]

Mark Hovey. “Bousfield localization functors and Hopkins’ chromatic splitting conjecture”. In: The ̌Cech centennial (Boston, MA, 1993). Vol. 181. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1995, pp. 225–250.

[HR92]

Michael J. Hopkins and Douglas C. Ravenel. “Suspension spectra are harmonic”. In: Bol. Soc. Mat. Mexicana (2) 37.1-2 (1992). Papers in honor of José Adem (Spanish), pp. 271–279.

[HS98]

Michael J. Hopkins and Jeffrey H. Smith. “Nilpotence and stable homotopy theory. II”. In: Ann. of Math. (2) 148.1 (1998), pp. 1–49. url: http://dx.doi.org/10.2307/120991.

[Iri83]

Kouyemon Iriye. “The nilpotency of elements of the equivariant stable homotopy groups of spheres”. In: J. Math. Kyoto Univ. 22.2 (1982/83), pp. 257–259. url: https://doi.org/10.1215/kjm/1250521814.

[Mah17]

Snigdhayan Mahanta. “\(G\)-theory of \(\F _1\)-algebras I: the equivariant Nishida problem”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 12.4 (2017), pp. 901–930. arXiv: 1110.6001. url: https://doi.org/10.1007/s40062-017-0168-0.

[Mah81]

Mark Mahowald. “\(b\mathrm {o}\)-resolutions”. In: Pacific J. Math. 92.2 (1981), pp. 365–383. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102736799.

[Mah82]

Mark Mahowald. “The image of \(J\) in the \(EHP\) sequence”. In: Ann. of Math. (2) 116.1 (1982), pp. 65–112. url: http://dx.doi.org/10.2307/2007048.

[Mat17]

Akhil Mathew. “Residue fields for a class of rational \(\mathbf {E}_{\infty }\)-rings and applications”. In: J. Pure Appl. Algebra 221.3 (2017), pp. 707–748. arXiv: 1406.4947. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2016.07.015.

[Mil81]

Haynes R. Miller. “On relations between Adams spectral sequences, with an application to the stable homotopy of a Moore space”. In: J. Pure Appl. Algebra 20.3 (1981), pp. 287–312. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(81)90064-5.

[MNN15]

Akhil Mathew, Niko Naumann, and Justin Noel. “On a nilpotence conjecture of J. P. May”. In: J. Topol. 8.4 (2015), pp. 917–932. arXiv: 1403.2023. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv021.

[Nee92]

Amnon Neeman. “The chromatic tower for \(D(R)\)”. In: Topology 31.3 (1992). With an appendix by Marcel Bökstedt, pp. 519–532. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(92)90047-L.

[Nis73]

Goro Nishida. “The nilpotency of elements of the stable homotopy groups of spheres”. In: J. Math. Soc. Japan 25 (1973), pp. 707–732.

[Pop]

David Popović. Nilpotence theorem in stable homotopy theory. arXiv: 2108.09867.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.

[Rav92a]

Douglas C. Ravenel. Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory. Vol. 128. Annals of Mathematics Studies. Appendix C by Jeff Smith. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1992, pp. xiv+209. isbn: 0-691-02572-X.

[Rav92b]

Douglas C. Ravenel. “Progress report on the telescope conjecture”. In: Adams Memorial Symposium on Algebraic Topology, 2 (Manchester, 1990). Vol. 176. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992, pp. 1–21. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526312.007.

[Tho97]

R. W. Thomason. “The classification of triangulated subcategories”. In: Compositio Math. 105.1 (1997), pp. 1–27. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1017932514274.