Baum-Douglas の Kホモロジー

Baum と Douglas は, [BD82; BD91] で cobordism とベクトル束を組合せた方法で, \(K\)-homology を構成した。

Baum-Douglas の \(K\)-homology が “\(K\)-homology” であること, つまり他の \(K\)-homology と同型になることの証明は, ずっと出版されていなかった。 やっと [BHS07] で analytic \(K\)-homology と同型であることの証明が世に出た。

コンバクトLie群のCW複体への作用の場合の equivariant version が [Bau+10] で構成されている。 Baum, Higson, Schick [BHS10] は cocompact discrete group action の場合を, Guo, Mathai, Wang [GMW19] は almost connected Lie group の proper cocompact action の場合を考えている。

Baum-Douglas の cobordism による \(K\)-homology の構成を包含する Jakob による一般ホモロジーの cobordism 群による構成もある。Baum-Douglas の \(K\)-homology は, Reis と Szabo の [RS06] で, type II superstring theory の \(D\)-brane charge を \(K\)-homology の元として表わすときに用いられている。その後, 彼らは Valentino と一緒 [Bro+08] に type I の場合, つまり \(KO\)-homology について考えている。この論文は, \(KO\)-homology について詳しく書かれた数少ない文献と言えるだろう。

Baum-Douglas \(K\)-homology の bivariant version も考えられている。 Emerson と Meyer の [EM10] によると, Connes と Skandalis [CS81] によるらしい。Emerson と Meyer は equivariant 版を考えている。

Baum-Douglas \(K\)-homology の mod \(k\) version を考えているのは, Deeley [Dee12; Dee13] である。その motivation は, Freed と Melrose [Fre88; FM92] の \(\Z /k\Z \)-manifold を用いた mod \(k\) index theorem のようである。Deeley は relative 版や \(\R /\Z \) に係数を持つものも [Dee14] で考えている。

\(C^*\)-algebra の \(K\)-theory に関しては, Higson と Roe が一連の論文 [HR05a; HR05b; HR05c] で surgery exact sequence に対応する exact sequence と surgery exact sequence からの natural transformation を構成している。 特に structure group に対応する群を構成しているが, Deeley と Goffeng [DG17] は, その analytic structure group を Baum-Douglas 流の geometric cycle で表すことを考えている。

Bárncenas [Bár20] は twisted equivariant \(K\)-theory の Baum-Douglas 版を考えている。

References

[Bár20]

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[RS06]

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