Twisted K-theory の変種や一般化

Twisted \(K\)-theory の equivariant version については, Atiyah と Segal の [AS04] の最後に述べられているものがある。Vasselli の [Vas08] でも少し触れられている。内容は, \(C^*\)-category に関する [Vas07] の解説であるが, 最後の章に twisted equivariant \(K\)-theory の定義がある。

• twisted equivariant \(K\)-theory

別の構成としては, orbifold の twisted \(K\)-theory [AR03] がある。

• orbifold twisted \(K\)-theory

そしてこれらを全て含む一般化として, topological groupoid, 更に differentiable stack の twisted \(K\)-theory を考えるというアイデア [TXL04] がある。

• topological groupoid の twisted \(K\)-theory
• stack の twisted \(K\)-theory

Topological groupoid の twisted \(K\)-theory として考えるというのは, Freedと Hopkins と Teleman [FHT11b; FHT11a; FHT13] のアイデアなのだろうか。 Bunke ら [BS05] は, Freed と Hopkins と Teleman の結果を smooth stack の中の議論で証明している。

これらのような一般化を考えるときには, \(3\)次元のコホモロジー類ではなく, \(1\)- gerbe あるいは topological groupoid の central extension による twisting を考えるべきである。Orbifold \(K\)-theory の場合は, Adem と Ruan と Zhang の [ARZ] の説明が分かりやすい。

他にも operator algebra 的に定義し, twisting を self-absorbing \(C^*\)-algebra により与える, というアイデアもある。Penning の [Pen16] である。

C. Dwyerの [Dwy08] は, Adem と Ruan の構成を Lück と Oliver の結果 [LO01] を用いて有限とは限らない群に拡張したものである。 更に Barcenas, Espinoza, Joachim, Uribe の [Bár+14] もある。

• equivariant twisted \(K\)-theory for proper actions of discrete groups

Barcenas らは [Bár+18] で spectral sequence を構成している。 [BV22] では completion theorem が考えられている。

\(K\)-homology も twist できる。 [MS] に解説がある。 Baum と Douglas の \(K\)-homology の twisted version は, Wang [Wan08] により構成されている。

• twisted \(K\)-homology

Berwick-Evans は [Ber] で equivariant かつ differential な version が導入されている。有限群の作用を持つ多様体の場合であるが。構成は Stolz と Teichner の topological field theory を用いた \(K\)-theory の構成 [Hoh+11] に基づいたものである。

• twisted equivariant differential \(K\)-theory

Sati と Schreiber [SS23a; SS23b] により 物理学への応用が考えられているが, 名前が長いので, 彼等は TED \(K\)-theory と省略している。

Bivariant 版は, Mahanta [Mah14] により考えられている。

Motivic version もある。Spitzweck と Østvær の [SØ12] である。

代数幾何学での algebraic \(K\)-theory については, Toën の [Toë12] がある。derived Azumaya algebra が導入され, それを用いて scheme の twisted \(K\)-theory の localization theorem が示されている。

References

[AR03]

Alejandro Adem and Yongbin Ruan. “Twisted orbifold \(K\)-theory”. In: Comm. Math. Phys. 237.3 (2003), pp. 533–556.

[ARZ]

Alejandro Adem, Yongbin Ruan, and Bin Zhang. A Stringy Product on Twisted Orbifold \(K\)-theory. arXiv: math/0605534.

[AS04]

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[Bár+14]

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[Bár+18]

Noé Bárcenas, Jesús Espinoza, Bernardo Uribe, and Mario Velásquez. “Segal’s spectral sequence in twisted equivariant K-theory for proper and discrete actions”. In: Proc. Edinb. Math. Soc. (2) 61.1 (2018), pp. 121–150. arXiv: 1307.1003. url: https://doi.org/10.1017/S0013091517000281.

[Ber]

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[BS05]

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[BV22]

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[Dwy08]

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[FHT11b]

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[Pen16]

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[SØ12]

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[Wan08]

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