Orbifold K-theory

Orbifold の \(K\)-theory については, 以下のようなものがある。発展の歴史については, Hu と Wang の [HW] の Introduction に簡潔にまとめられている。

• Adem と Ruan の orbifold \(K\)-theory [AR03]
• Adem と Ruan と Zhang の orbifold stringy product を持つ twisted orbifold \(K\)-theory [ARZ]
• Jarvis と Kaufmann と Kimura の orbifold stringy \(K\)-theory [JKK07] とその Becerra と Uribe による拡張 [BU09]

Jarvis と Kaufmann と Kimura のものは, full orbifold \(K\)-theory と呼ばれているようである。

Orbifold twisted \(K\)-theory に対する Chern character の定義が, Tu と Xu により [TX06] で suggest されている。Orbifold Chern class についてもいくつかの試みがある。 対称積の orbifold Chern class が [Ohm08] で調べられている。Full orbifold \(K\)-theory に対する Chern character も定義されている。

• orbifold あるいは stringy Chern class [Ohm06; Ohm08; EJKb]
• orbifold あるいは stringy Chern character [TX06; JKK07; BU09; EJKa]

Becerra と Uribe の Chern character は, \(\otimes \bbC \) しても同型写像にはならないので, stringy product を定義し直し, 更に Chern character を delocalized Chern character から定義し直したのが, Hu と Wang の [HW] である。 彼等の積と Chern character を用いれば, \(\otimes \bbC \) 上で同型になるようである。

Kaufmann と Pham は, [KP09] で stringy \(K\)-theory と group ring の Drinfeld double との関係について調べている。

Lupercio ら [LUX07; Gon+07] により考えられた virtual orbifold product を持つ virtual orbifold \(K\)-theory もある。 その categorification を Scherotzke と Sibilla [SS] が考えている。

• virtual orbifold \(K\)-theory

Dfferential version として, orbifold differential \(K\)-theory を考えるというアイデア [SV10] もある。 それを発展させたのが, Bunke と Schick の [BS] である。

• differential orbifold \(K\)-theory

References

[AR03]

Alejandro Adem and Yongbin Ruan. “Twisted orbifold \(K\)-theory”. In: Comm. Math. Phys. 237.3 (2003), pp. 533–556.

[ARZ]

Alejandro Adem, Yongbin Ruan, and Bin Zhang. A Stringy Product on Twisted Orbifold \(K\)-theory. arXiv: math/0605534.

[BS]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. Differential orbifold K-Theory. arXiv: 0905.4181.

[BU09]

Edward Becerra and Bernardo Uribe. “Stringy product on twisted orbifold \(K\)-theory for abelian quotients”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 361.11 (2009), pp. 5781–5803. arXiv: 0706.3229. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-09-04760-6.

[EJKa]

Dan Edidin, Tyler J. Jarvis, and Takashi Kimura. Logarithmic trace and orbifold products. arXiv: 0904.4648.

[EJKb]

Dan Edidin, Tyler J. Jarvis, and Takashi Kimura. New Products, Chern Classes, and Power Operations in Orbifold K-theory. arXiv: 1202.0603.

[Gon+07]

Ana González, Ernesto Lupercio, Carlos Segovia, Bernardo Uribe, and Miguel A. Xicoténcatl. “Chen-Ruan cohomology of cotangent orbifolds and Chas-Sullivan string topology”. In: Math. Res. Lett. 14.3 (2007), pp. 491–501. arXiv: math/0610899.

[HW]

Jianxun Hu and Bai-Ling Wang. Delocalized Chern character for stringy orbifold \(K\)-theory. arXiv: 1110.0953.

[JKK07]

Tyler J. Jarvis, Ralph Kaufmann, and Takashi Kimura. “Stringy \(K\)-theory and the Chern character”. In: Invent. Math. 168.1 (2007), pp. 23–81. arXiv: math/0502280. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-006-0026-x.

[KP09]

Ralph M. Kaufmann and David Pham. “The Drinfel\('\) d double and twisting in stringy orbifold theory”. In: Internat. J. Math. 20.5 (2009), pp. 623–657. arXiv: 0708.4006. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X09005431.

[LUX07]

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe, and Miguel A. Xicoténcatl. “The loop orbifold of the symmetric product”. In: J. Pure Appl. Algebra 211.2 (2007), pp. 293–306. arXiv: math/0606573. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.01.002.

[Ohm06]

Toru Ohmoto. “Equivariant Chern classes of singular algebraic varieties with group actions”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 140.1 (2006), pp. 115–134. arXiv: math/0407348. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004105008820.

[Ohm08]

Toru Ohmoto. “Generating functions of orbifold Chern classes. I. Symmetric products”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 144.2 (2008), pp. 423–438. arXiv: math/0604583. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004107000898.

[SS]

Sarah Scherotzke and Nicolò Sibilla. Derived loop stacks and categorification of orbifold products. arXiv: 1502.02326.

[SV10]

Richard J. Szabo and Alessandro Valentino. “Ramond-Ramond fields, fractional branes and orbifold differential \(K\)-theory”. In: Comm. Math. Phys. 294.3 (2010), pp. 647–702. arXiv: 0710.2773. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0975-1.

[TX06]

Jean-Louis Tu and Ping Xu. “Chern character for twisted \(K\)-theory of orbifolds”. In: Adv. Math. 207.2 (2006), pp. 455–483. arXiv: math/0505267. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.12.001.