Chern character

代数的トポロジーの立場からは, Chern character は 一般コホモロジーの間の natural transformation から得られる写像 \[ \mathrm {ch} : K^*(X) \longrightarrow \prod _n H^{n}(X;\Q ) \] と見るのが最も理解し易いだろう。K-theory に \(\Q \) を tensor してできる cohomology theory に対する Atiyah-Hirzebruch spectral sequence の collapse により得られる。

もちろん, それでは幾何学的な応用には不自由なので, 様々な構成法が考えられている。 可微分多様体に対しては, 微分形式で表わすこともできる。 Quillen の [Qui85; Qui88] など。

• Quillen の supperconnection Chern character form

Paradan と Vergne [PV09] は, Quillen の relative Chern character が multiplicative であることを示している。

Algebraic cycle の空間を使った構成もある。 空間レベルの写像としても構成できるので興味深い。例えば, R. Cohen と Lima-Filho の [CL] や Lawson と Lima-Filho と Michelsohn の [LLM03] がある。Chern class (total Chern class) についても \[ c : \mathrm {BU} \longrightarrow \prod _{n} K(\Z ,2n) \] という写像で表現される。この写像が, 無限ループ空間の写像になるように, Eilenberg-Mac Lane 空間の直積に無限ループ構造を入れることは, Boyer ら [Boy+93] が成功した。

安定ホモトピー論の視点からは, Chern character は chromatic level を \(1\) から \(0\) に下げる写像と見ることもできる。 自然な問題としては, chromatic level \(2\) のコホモロジー, つまり elliptic cohomology や tmf に対する Chern character の類似をどう考えるか, というものがある。一つの試みとして, Toën と Vezzosi の [TV09] がある。彼らは, Chern character の受け皿として, free loop space の \(S^1\)-equivariant cohomology を考えている。 そして彼等 [TV09; TV15] は代数的 \(K\)-theory 版として secondary \(K\)-theory を導入し, secondary Chern character を考えている。

• secondary Chern character

非可換幾何学, つまり \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory に対しては, cyclic homology に値を持つ写像として定義することができる。これが Connes が cyclic homology を導入した動機のようである。 そしてその定義は, Kasparov の \(KK\)-theory へ一般化されている。

• \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory に対する Chern-Connes character

Puschingg の [Pus] によると, \(KK\)-theory に対する Chern character は, Nistor の [Nis93] や Cuntz の [Cun97] などの試みを経て, Puschnigg [Pus01; Pus03] により, bivariant local cyclic homology に値を持つものとして, その定義が確立されたようである。

Connes の構成の, より一般的なホモロジー代数的枠組みでの構成は, algebraic \(K\)-theory から negative cyclic homology や topological cyclic homology への cyclotomic trace map が対応する。

• cyclotomic trace map

一般化としては, Fiorenza, Sati, Schreiber の [FSS] の non-Abelian (twisted differential) cohomology の枠組みでのものもある。

References

[Boy+93]

Charles P. Boyer, H. Blaine Lawson Jr., Paulo Lima-Filho, Benjamin M. Mann, and Marie-Louise Michelsohn. “Algebraic cycles and infinite loop spaces”. In: Invent. Math. 113.2 (1993), pp. 373–388. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01244311.

[CL]

Ralph L. Cohen and Paulo Lima-Filho. An algebraic geometric realization of the Chern character. arXiv: math/9912152.

[Cun97]

Joachim Cuntz. “Bivariante \(K\)-Theorie für lokalkonvexe Algebren und der Chern-Connes-Charakter”. In: Doc. Math. 2 (1997), 139–182 (electronic).

[FSS]

Domenico Fiorenza, Hisham Sati, and Urs Schreiber. The character map in (twisted differential) non-abelian cohomology. arXiv: 2009. 11909.

[LLM03]

H. Blaine Lawson, Paulo Lima-Filho, and Marie-Louise Michelsohn. “Algebraic cycles and the classical groups. I. Real cycles”. In: Topology 42.2 (2003), pp. 467–506. arXiv: math/9912154. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(02)00018-6.

[Nis93]

Victor Nistor. “A bivariant Chern-Connes character”. In: Ann. of Math. (2) 138.3 (1993), pp. 555–590. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946556.

[Pus]

Michael Puschnigg. The Chern-Connes character is not rationally injective. arXiv: 1102.5262.

[Pus01]

Michael Puschnigg. “Excision in cyclic homology theories”. In: Invent. Math. 143.2 (2001), pp. 249–323. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220000105.

[Pus03]

Michael Puschnigg. “Diffeotopy functors of ind-algebras and local cyclic cohomology”. In: Doc. Math. 8 (2003), 143–245 (electronic).

[PV09]

Paul-Emile Paradan and Michèle Vergne. “Quillen’s relative Chern character”. In: Algebraic analysis and around. Vol. 54. Adv. Stud. Pure Math. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2009, pp. 255–291. arXiv: math/0702575. url: https://doi.org/10.2969/aspm/05410255.

[Qui85]

Daniel Quillen. “Superconnections and the Chern character”. In: Topology 24.1 (1985), pp. 89–95. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(85)90047-3.

[Qui88]

Daniel Quillen. “Superconnection character forms and the Cayley transform”. In: Topology 27.2 (1988), pp. 211–238. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(88)90040-7.

[TV09]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer, 2009, pp. 331–354. arXiv: 0804.1274. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_11.

[TV15]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Caractères de Chern, traces équivariantes et géométrie algébrique dérivée”. In: Selecta Math. (N.S.) 21.2 (2015), pp. 449–554. arXiv: 0903.3292. url: https://doi.org/10.1007/s00029-014-0158-6.