Telescope Conjecture

Ravenel の [Rav84] で提案された予想は, その多くが Hopkins と彼の共同研究者 の仕事により証明されたが, telescope conjecture だけが証明されなかった。

Periodicity theorem により, type \(n\) complex \(X\) は \(v_{n}\)-self-map を持つが, その telescope と \(L_{n}X\) の Bousfield class が同じである, という予想である。

\(n=1\) のとき, \(p=2\) の場合は Mahowald [Mah81; Mah82], 奇素数の場合は Haynes Miller [Mil81] により成り立つことが示されている。

\(n=2\) のときに成り立たなさそうであることは, 既に Ravenel 自身気がついていた [Rav92] が, 証明には至っていなかった。 このときの事情については, Beaudry らの [Bea+21] の Introduction を読むとよい。

一般に \(n\ge 2\) で成り立たないことが, Levy, Burklund, Hahn, Schlank [Bur+] により, 最近証明されたようである。 Quanta Magazine にも記事が出ている。

Bousfield localiztion など, 安定ホモトピー論の手法が triangulated category やその一般化でも使われるようになったが, telescope conjecture の類似も考えられている。 Krause と Šťovíček の[KŠ10], Bazzoni と Šťovíček の [BŠ17], Hrbek と Sabatini の [HS] など。

Tensor triangulted 版については, Stevenson [Ste13], Balmer と Favi [BF11], Hall と Rydh [HR17] などにより考えられている。

References

[Bea+21]

Agnès Beaudry, Mark Behrens, Prasit Bhattacharya, Dominic Culver, and Zhouli Xu. “The telescope conjecture at height 2 and the tmf resolution”. In: J. Topol. 14.4 (2021), pp. 1243–1320. arXiv: 1909.13379. url: https://doi.org/10.1112/topo.12208.

[BF11]

Paul Balmer and Giordano Favi. “Generalized tensor idempotents and the telescope conjecture”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 102.6 (2011), pp. 1161–1185. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdq050.

[BŠ17]

Silvana Bazzoni and Jan Št’ovíček. “Smashing localizations of rings of weak global dimension at most one”. In: Adv. Math. 305 (2017), pp. 351–401. arXiv: 1402.7294. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.09.028.

[Bur+]

Robert Burklund, Jeremy Hahn, Ishan Levy, and Tomer M. Schlank. \(K\)-theoretic counterexamples to Ravenel’s telescope conjecture. arXiv: 2310.17459.

[HR17]

Jack Hall and David Rydh. “The telescope conjecture for algebraic stacks”. In: J. Topol. 10.3 (2017), pp. 776–794. arXiv: 1606.08413. url: https://doi.org/10.1112/topo.12021.

[HS]

Michal Hrbek and Enrico Sabatini. Telescope conjecture for quiver representations over artinian rings. arXiv: 2509.14179.

[KŠ10]

Henning Krause and Jan Šťovíček. “The telescope conjecture for hereditary rings via Ext-orthogonal pairs”. In: Adv. Math. 225.5 (2010), pp. 2341–2364. arXiv: 0810.1401. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.04.027.

[Mah81]

Mark Mahowald. “\(b\mathrm {o}\)-resolutions”. In: Pacific J. Math. 92.2 (1981), pp. 365–383. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102736799.

[Mah82]

Mark Mahowald. “The image of \(J\) in the \(EHP\) sequence”. In: Ann. of Math. (2) 116.1 (1982), pp. 65–112. url: http://dx.doi.org/10.2307/2007048.

[Mil81]

Haynes R. Miller. “On relations between Adams spectral sequences, with an application to the stable homotopy of a Moore space”. In: J. Pure Appl. Algebra 20.3 (1981), pp. 287–312. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(81)90064-5.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.

[Rav92]

Douglas C. Ravenel. “Progress report on the telescope conjecture”. In: Adams Memorial Symposium on Algebraic Topology, 2 (Manchester, 1990). Vol. 176. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992, pp. 1–21. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526312.007.

[Ste13]

Greg Stevenson. “Support theory via actions of tensor triangulated categories”. In: J. Reine Angew. Math. 681 (2013), pp. 219–254. arXiv: 1105.4692.