代数的K理論の一般化と変種

代数的 \(K\) 理論は, 元々は環などの代数的構造に対して定義されたものである。 可換環と affine scheme は本質的には同じものなので, 代数幾何学の対象, つまり variety や scheme に拡張するのはそれほど変なことではないし, 難しくもない。 そもそも \(K_{0}\) は, Grothendieck により代数幾何学の文脈で定義されたものである。

  • algebraic \(K\)-theory of scheme

そのような algebraic \(K\)-theory については, Atiyah-Hirzebruch 型の spectral sequence を持つなど, 代数的トポロジーでの \(K\)-theory と類似の現象が成り立つ。Atiyah-Hirzebruch spectral sequence の構成については, Friedlander と Suslin の [FS02] という構成がある。 Equivariant な場合については、 Levine と Serpé の [LS08] がある。

その scheme の equivariant algebraic \(K\)-theory は, Thomason [Tho87] による。解説としては, Merkurjev による [Mer05] がある。

  • equivariant algebraic \(K\)-theory

\(\Z /2\Z \) の作用については, Hermitian \(K\)-theory や Hesselholt と Madsen の Real algebraic \(K\)-theory [HM] などがある。

Hesselholt と Madsen は, “duality structure” を持つ exact category から “real symmetric spectrum”を構成することを提案している。それを ring spectrum に適用できるように拡張しているのが, Dotto と Ogle の [DO19] である。

環に対する古典的な algebraic \(K\)-theory の変種としては, Quillen [Qui96] による単位元を持つとは限らない環の \(K_0\) がある。 それの higher版は Mahanta [Mah11] により定義された。

  • nonunital Quillen \(K'\)-theory

いづれにせよ, algebraic \(K\)-theory とは, 環あるいはある種の圏に対し, 無限ループ空間, あるいは spectrum を対応させ, そのホモトピー群を取ったものである。 ホモトピー群を取る前, 無限ループ空間の段階で, その性質を調べようというのは自然なアイデアである。

そのため, 1970年代後半には各種データから 無限ループ空間を作る machine について研究された。

そのをアイデアを “topological な ring” に適用したものとして, Waldhausen の algebraic \(K\)-theory of space がある。これは Goodwillie calculus の最初の研究対象だった。より一般に, Waldhausen は モデル圏の半分のデータを持つ圏, つまり weak equivalence と cofibration を持つ圏について考えている。 そのような圏は, 現在では Waldhausen category と呼ばれることが多いようである。Weiss の [Wei99] や Blumberg と Mandell の [BM11] など。

Triangulated derivator に対しては, Maltsiniotis [Mal07] の構成したものがある。

  • derivator \(K\)-theory

現在では, 無限ループ空間や古典的なスペクトラムの代りに, EKMM のスペクトラムあるいは symmetric spectrum などが用いられるようになり, algebraic \(K\)-theory もその文脈で書き直す必要がでてきた。 それについては, Elmendorf と Mandell の [EM06] がある。彼らは, symmetric monoidal category から積構造を保つ \(K\)-theory spectrum の構成を見つけたのであるが, その本質は, multicategory の構造であることに気づき [EM09] を書いている。

そのような ring spectrum の algebraic \(K\)-theory について, Quillen の localization theorem [Qui73] の類似が Barwick と Lawson [BL] により証明されている。

このような ring spectrum の algebraic \(K\)-theory は, stable homotopy theory の観点からは, chromatic tower との関係が重要である。それを定式化したのは Rognes らしい。

更に一般に stable \(\infty \)-category の algebraic \(K\)-theory も考えられるようになった。Blumberg と Gepner と Tabuada の [BGT13] である。Hebestreit, Lachmann, Steimle の [HLS] を見ると良いと思う。

  • stable \(\infty \)-category の algebraic \(K\)-theory

彼等は, algebraic \(K\)-theory の additive invariant としての universality を証明する枠組みとして stable \(\infty \)-category が使えることを示していて, idempotent complete stable \(\infty \)-category の成す \((\infty ,1)\)-category が algebraic \(K\)-theory functor の自然な定義域であると言っている。

  • additive invariants of stable \(\infty \)-categories

彼等は, [BGT16] では, \(K\)-theory of endomorphisms の定義を同様の方法で拡張している。\(K\)-theory of endomorphisms とは, Almkvist [Alm74; Alm78] と Grayson [Gra77; Gra78] により70年代に導入されたもので, crystalline cohomology [Blo77; Sti82] や Goodwillie calculus [LM12] などと関係あるらしい。

  • \(K\)-theory of endomorphisms

高次の \(K\)-theory としては, Toën と Vezzosi [TV09] の secondary \(K\)-theory がある。これは, \(2\)-vector bundle を使いて elliptic cohomology を作ろうという Baas, Dundas, Rognes の試み [BDR04] の代数版のようなものである。

Category の一般化として operad (multicategory) を考えると, \(\infty \)-category の algebraic \(K\)-theory を \(\infty \)-operad に一般化することも考えられる。それは, Nikolaus の [Nik14] で行なわれている。

Algebraic \(K\)-theory と topological \(K\)-theory の中間に位置するものとして semi-topological \(K\)-theory と呼ばれるものがある。

古典的な \(K\)-theory の元になっているのは, 可換環 \(k\) に対する \(\GL _{n}(k)\) であるが, この可換環から \(\GL \) という群の構成を一般化するという試みもある。Bruns と Gubeladze は, lattice polytope から “polyhedral algebra” を定義し, その automorphism group を用いて algebraic \(K\)-theory を一般化することを提案 [BG03] している。 多面体が単体の場合が, 古典的な algebraic \(K\)-theory に対応する。 彼等による解説 [BG04] や本 [BG09] もある。

  • polyhedral \(K\)-theory

別の方向での多面体との関係では, Zakharevich [Zak12] による scissors congruence group の高次版がある。同様に, 代数多様体のような幾何学的対象から “cut and paste” で得られる Grothendieck group にも高次版が考えられている。 そのようなものは, Bohmann らの [Boh+] では, cut-and-paste \(K\)-theory

群に対しては, その表現の成す圏から deformation \(K\)-theory や unitary deformation \(K\)-theory というものも作られる。G. Carlsson によって定義された。その motivation は, 体の algebraic \(K\)-theory を調べることである。

Algebraic \(K\)-theory を環の圏の上の homology theory と見ようとすると, 問題がある。例えば Mayer-Vietoris の完全列などである。もちろん, この点を改良しようという試みも行なわれている。Gersten は [Ger71] で, 環の圏の上の群に値を持つ functor が homology theory に拡張できるためにはどういう条件が必要かを考えた。その一般化として Garkusha の [Gar07] がある。

作用素環の \(K\)-theory では, Kasparov の bivariant \(K\)-theory があるが, その代数版も考えられている。

Differential 版もできた。Bunke と Gepner の [BG21] である。

  • differential algebraic \(K\)-theory

References

[Alm74]

Gert Almkvist. “The Grothendieck ring of the category of endomorphisms”. In: J. Algebra 28 (1974), pp. 375–388. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(74)90047-7.

[Alm78]

Gert Almkvist. “\(K\)-theory of endomorphisms”. In: J. Algebra 55.2 (1978), pp. 308–340. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(78)90224-7.

[BDR04]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, and John Rognes. “Two-vector bundles and forms of elliptic cohomology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 18–45. arXiv: math/0306027. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.005.

[BG03]

Winfried Bruns and Joseph Gubeladze. “Higher polyhedral \(K\)-groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 184.2-3 (2003), pp. 175–228. arXiv: math/0108013. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(03)00037-9.

[BG04]

W. Bruns and J. Gubeladze. “Polytopes and \(K\)-theory”. In: Georgian Math. J. 11.4 (2004), pp. 655–670. arXiv: math/0405438.

[BG09]

Winfried Bruns and Joseph Gubeladze. Polytopes, rings, and \(K\)-theory. Springer Monographs in Mathematics. Dordrecht: Springer, 2009, pp. xiv+461. isbn: 978-0-387-76355-2. url: http://dx.doi.org/10.1007/b105283.

[BG21]

Ulrich Bunke and David Gepner. “Differential function spectra, the differential Becker-Gottlieb transfer, and applications to differential algebraic \(K\)-theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 269.1316 (2021), pp. v+177. arXiv: 1306.0247. url: https://doi.org/10.1090/memo/1316.

[BGT13]

Andrew J Blumberg, David Gepner, and Gonçalo Tabuada. “A universal characterization of higher algebraic K-theory”. In: Geom. Topol. 17.2 (2013), pp. 733–838. arXiv: 1001.2282. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2013.17.733.

[BGT16]

Andrew J. Blumberg, David Gepner, and Gonçalo Tabuada. “\(K\)-theory of endomorphisms via noncommutative motives”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 368.2 (2016), pp. 1435–1465. arXiv: 1302.1214. url: https://doi.org/10.1090/tran/6507.

[BL]

Clark Barwick and Tyler Lawson. Regularity of structured ring spectra and localization in \(K\)-theory. arXiv: 1402.6038.

[Blo77]

Spencer Bloch. “Algebraic \(K\)-theory and crystalline cohomology”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 47 (1977), 187–268 (1978). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1977__47__187_0.

[BM11]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “Algebraic \(K\)-theory and abstract homotopy theory”. In: Adv. Math. 226.4 (2011), pp. 3760–3812. arXiv: 0708.0206. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.11.002.

[Boh+]

Anna Marie Bohmann, Teena Gerhardt, Cary Malkiewich, Mona Merling, and Inna Zakharevich. A trace map on higher scissors congruence groups. arXiv: 2303.08172.

[DO19]

Emanuele Dotto and Crichton Ogle. “\(K\)-theory of Hermitian Mackey functors, real traces, and assembly”. In: Ann. K-Theory 4.2 (2019), pp. 243–316. arXiv: 1703 . 09523. url: https://doi.org/10.2140/akt.2019.4.243.

[EM06]

A. D. Elmendorf and M. A. Mandell. “Rings, modules, and algebras in infinite loop space theory”. In: Adv. Math. 205.1 (2006), pp. 163–228. arXiv: math/0403403. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.07.007.

[EM09]

A. D. Elmendorf and M. A. Mandell. “Permutative categories, multicategories and algebraic \(K\)-theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.4 (2009), pp. 2391–2441. arXiv: 0710.0082. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.2391.

[FS02]

Eric M. Friedlander and Andrei Suslin. “The spectral sequence relating algebraic \(K\)-theory to motivic cohomology”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 35.6 (2002), pp. 773–875. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(02)01109-6.

[Gar07]

Grigory Garkusha. “Homotopy theory of associative rings”. In: Adv. Math. 213.2 (2007), pp. 553–599. arXiv: math/0608482. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.013.

[Ger71]

S. M. Gersten. “On Mayer-Vietoris functors and algebraic \(K\)-theory”. In: J. Algebra 18 (1971), pp. 51–88. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(71)90127-X.

[Gra77]

Daniel R. Grayson. “The \(K\)-theory of endomorphisms”. In: J. Algebra 48.2 (1977), pp. 439–446.

[Gra78]

Daniel R. Grayson. “Grothendieck rings and Witt vectors”. In: Comm. Algebra 6.3 (1978), pp. 249–255. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927877808822245.

[HLS]

Fabian Hebestreit, Andrea Lachmann, and Wolfgang Steimle. The localisation theorem for the \(\mathrm {K}\)-theory of stable \(\infty \)-categories. arXiv: 2205. 06104.

[HM]

Lars Hesselholt and Ib Madsen. Real algebraic \(K\)-theory. url: http://web.math.ku.dk/~larsh/papers/s05/.

[LM12]

Ayelet Lindenstrauss and Randy McCarthy. “On the algebraic K-theory of formal power series”. In: J. K-Theory 10.1 (2012), pp. 165–189. arXiv: 1010.6040. url: https://doi.org/10.1017/is012003003jkt186.

[LS08]

Marc Levine and Christian Serpé. “On a spectral sequence for equivariant \(K\)-theory”. In: \(K\)-Theory 38.2 (2008), pp. 177–222. arXiv: math/0511394. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-007-9018-x.

[Mah11]

Snigdhayan Mahanta. “Higher nonunital Quillen \(K'\)-theory, \(KK\)-dualities and applications to topological \(\mathbb {T}\)-dualities”. In: J. Geom. Phys. 61.5 (2011), pp. 875–889. arXiv: 1503.06404. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2010.12.011.

[Mal07]

Georges Maltsiniotis. “La \(K\)-théorie d’un dérivateur triangulé”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 341–368. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/431/08280.

[Mer05]

Alexander S. Merkurjev. “Equivariant \(K\)-theory”. In: Handbook of \(K\)-theory. Vol. 1, 2. Springer, Berlin, 2005, pp. 925–954. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-27855-9_18.

[Nik14]

Thomas Nikolaus. “Algebraic K-Theory of \(\infty \)-Operads”. In: J. K-Theory 14.3 (2014), pp. 614–641. arXiv: 1303 . 2198. url: http://dx.doi.org/10.1017/is014008019jkt277.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[Qui96]

Daniel Quillen. “\(K_0\) for nonunital rings and Morita invariance”. In: J. Reine Angew. Math. 472 (1996), pp. 197–217. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1996.472.197.

[Sti82]

Jan Stienstra. “Operations in the higher \(K\)-theory of endomorphisms”. In: Current trends in algebraic topology, Part 1 (London, Ont., 1981). Vol. 2. CMS Conf. Proc. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982, pp. 59–115.

[Tho87]

R. W. Thomason. “Algebraic \(K\)-theory of group scheme actions”. In: Algebraic topology and algebraic \(K\)-theory (Princeton, N.J., 1983). Vol. 113. Ann. of Math. Stud. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1987, pp. 539–563.

[TV09]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer, 2009, pp. 331–354. arXiv: 0804.1274. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_11.

[Wei99]

Michael Weiss. “Hammock localization in Waldhausen categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 138.2 (1999), pp. 185–195. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(98)00009-7.

[Zak12]

Inna Zakharevich. “Scissors congruence as \(K\)-theory”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 181–202. arXiv: 1101.3833. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a9.