Cut-and-Paste K-Theories

Zakharevich [Zak12] は, scissors congruence group を \(\pi _{0}\) として持つような spectrum を構成した。

Scissors congruence は, 凸多面体から, 切り貼り (cut and paste) によって得られる群であるが, このように幾何学的対象に対しては, cut and paste を考えたくなることが良くある。そして, それを \(\pi _{0}\) として持つ spectrum が構成できることも良くある。

このような spectrum を Bohmann ら [Boh+] は cut-and-paste \(K\)-theory と呼んでいる。

例えば, 代数多様体に対しては, Grothendieck group of varieties が定義され, その algebraic stack やある種の dg category などへの拡張が考えられている。 また, それらの higher \(K\)-theory 版も考えられている。

• algebraic \(K\)-theory of varieties

多様体に対する cut and paste は, 古くから SK group という形で代数化されてきた。 Karras らの [Kar+73] など。 この SK というのは, ドイツ語の “Schneiden und Kleben” の省略である。

• SK-group

SK-group を \(\pi _{0}\) として持つ spectrum は, Hoekzema らの [Hoe+22] で Zakharevich と Campbell の方法を用いて定義されている。

References

[Boh+]

Anna Marie Bohmann, Teena Gerhardt, Cary Malkiewich, Mona Merling, and Inna Zakharevich. A trace map on higher scissors congruence groups. arXiv: 2303.08172.

[Hoe+22]

Renee S. Hoekzema, Mona Merling, Laura Murray, Carmen Rovi, and Julia Semikina. “Cut and paste invariants of manifolds via algebraic \(K\)-theory”. In: Topology Appl. 316 (2022), Paper No. 108105, 18. arXiv: 2001.00176. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2022.108105.

[Kar+73]

U. Karras, M. Kreck, W. D. Neumann, and E. Ossa. Cutting and pasting of manifolds; \(\mathrm {SK}\)-groups. Mathematics Lecture Series, No. 1. Publish or Perish, Inc., Boston, Mass., 1973, pp. vii+70.

[Zak12]

Inna Zakharevich. “Scissors congruence as \(K\)-theory”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 181–202. arXiv: 1101.3833. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a9.