Floer Homology

Symplectic manifold に対しては, Floer homology が定義される。

この MathOverflow の質問で, 概略や解説について聞かれているが, その回答にあるのは, Cotton-Clay の thesis [Cot09], Salamon の lecture notes [Sal99] や Hutchings の [Hut08] など, である。Floer の原論文を薦めている人もいる。 Audin と Damian の本 [AD14] は, Morse theory との類似を利用し, まず Morse theory について理解してから Floer homology を学ぶようになっている。

ホモトピー論的な視点からは, Floer homology の元になる“Floer homotopy type” を見つけよう, というのは自然な問題意識である。

• Floer homotopy type

Floer homology の grading を考えるために, Seidel は [Sei00] で graded Lagrangian submanifold という概念を考えている。

Leray-Serre 型の spectral sequence も構成されている。 [Hut08; Oan08] などである。

• symplectic fibration

Seidel は, [Sei02] で Riemann 面の場合に mapping class group との関連を調べている。

Floer homology には, 様々な変種が定義されている。区別するために, もとの Floer homology は Lagrangian Floer homology と呼ばれたりする。Floer 自身 \(3\) 次元多様体に対し instanton Floer homology を定義している。 \(3\)次元多様体に対しては, Heegaard Floer homology と呼ばれるものも定義される。

これは, Ozsváth と Szabó の [OS04b] で導入された。 更に, 彼等 [OS04a] と Rasmussen [Ras03] により独立に, closed oriented \(3\)-manifold の中の knot や link の不変量である knot (link) Floer homology というものに拡張されている。解説として, Ozsváth と Szabó の [OS06] がある。

• instanton Floer homology
• Heegaard Floer homology
• knot (link) Floer homology

その combinatorial description は, Manolescu と Ozsvath と Sarkar の [MOS09] で述べられている。[Man+07] では \(\Z \) 係数で定義できるように改良されている。

Seidel と Smith は, Khovanov homology を Floer homology として記述するという試みを [SS06] で行っている。

Symplectic homology と言う variation もある。境界を持つ symplectic manifold に対し, Viterbo の [Vit99]で定義された。Survey とし て Oancea の [Oan04] がある。これは, symplectic homology だけでなく, 各種の Floer-type homology を比較した survey である。他にも Seidel の [Sei08] がある。

Seidel は, [Sei09] で disk 上の Lefschetz fibration の symplectic homology と, ある \(A_{\infty }\)-category の Hochschild homology との関係について予想を立てている。

References

[AD14]

Michèle Audin and Mihai Damian. Morse theory and Floer homology. Universitext. Translated from the 2010 French original by Reinie Erné. Springer, London; EDP Sciences, Les Ulis, 2014, pp. xiv+596. isbn: 978-1-4471-5495-2; 978-1-4471-5496-9; 978-2-7598-0704-8. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4471-5496-9.

[Cot09]

Andrew Walker Cotton-Clay. Symplectic Floer homology of area-preserving surface diffeomorphisms and sharp fixed point bounds. Thesis (Ph.D.)–University of California, Berkeley. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2009, p. 92. isbn: 978-1109-44973-0.

[Hut08]

Michael Hutchings. “Floer homology of families. I”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.1 (2008), pp. 435–492. arXiv: math/0308115. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.435.

[Man+07]

Ciprian Manolescu, Peter Ozsváth, Zoltán Szabó, and Dylan Thurston. “On combinatorial link Floer homology”. In: Geom. Topol. 11 (2007), pp. 2339–2412. arXiv: math / 0610559. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2007.11.2339.

[MOS09]

Ciprian Manolescu, Peter Ozsváth, and Sucharit Sarkar. “A combinatorial description of knot Floer homology”. In: Ann. of Math. (2) 169.2 (2009), pp. 633–660. arXiv: math/0607691. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2009.169.633.

[Oan04]

Alexandru Oancea. “A survey of Floer homology for manifolds with contact type boundary or symplectic homology”. In: Symplectic geometry and Floer homology. A survey of the Floer homology for manifolds with contact type boundary or symplectic homology. Vol. 7. Ensaios Mat. Soc. Brasil. Mat., Rio de Janeiro, 2004, pp. 51–91. arXiv: math/0403377.

[Oan08]

Alexandru Oancea. “Fibered symplectic cohomology and the Leray-Serre spectral sequence”. In: J. Symplectic Geom. 6.3 (2008), pp. 267–351. arXiv: math / 0503193. url: http://projecteuclid.org/euclid.jsg/1224595248.

[OS04a]

Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. “Holomorphic disks and knot invariants”. In: Adv. Math. 186.1 (2004), pp. 58–116. arXiv: math/0209056. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2003.05.001.

[OS04b]

Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. “Holomorphic disks and topological invariants for closed three-manifolds”. In: Ann. of Math. (2) 159.3 (2004), pp. 1027–1158. arXiv: math / 0101206. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2004.159.1027.

[OS06]

Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. “Heegaard diagrams and Floer homology”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. II. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 1083–1099. arXiv: math/ 0602232.

[Ras03]

Jacob Andrew Rasmussen. Floer homology and knot complements. Thesis (Ph.D.)–Harvard University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2003, p. 126. isbn: 978-0496-39374-9. arXiv: math/0306378.

[Sal99]

Dietmar Salamon. “Lectures on Floer homology”. In: Symplectic geometry and topology (Park City, UT, 1997). Vol. 7. IAS/Park City Math. Ser. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 143–229.

[Sei00]

Paul Seidel. “Graded Lagrangian submanifolds”. In: Bull. Soc. Math. France 128.1 (2000), pp. 103–149.

[Sei02]

Paul Seidel. “Symplectic Floer homology and the mapping class group”. In: Pacific J. Math. 206.1 (2002), pp. 219–229. arXiv: math/ 0010301. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2002.206.219.

[Sei08]

Paul Seidel. “A biased view of symplectic cohomology”. In: Current developments in mathematics, 2006. Int. Press, Somerville, MA, 2008, pp. 211–253. arXiv: 0704.2055.

[Sei09]

Paul Seidel. “Symplectic homology as Hochschild homology”. In: Algebraic geometry—Seattle 2005. Part 1. Vol. 80. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 415–434. arXiv: math/0609037.

[SS06]

Paul Seidel and Ivan Smith. “A link invariant from the symplectic geometry of nilpotent slices”. In: Duke Math. J. 134.3 (2006), pp. 453–514. arXiv: math / 0405089. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13432-4.

[Vit99]

C. Viterbo. “Functors and computations in Floer homology with applications. I”. In: Geom. Funct. Anal. 9.5 (1999), pp. 985–1033. url: http://dx.doi.org/10.1007/s000390050106.