Hopf algebra の分類

Hopf algebra を群の一般化とみなすと, 有限群の分類問題の延長として, 有限次元 Hopf algebra の分類を考えたくなる。もちろん, とても難しい問題ではあるが。Beattie と Garcia [BG13a] によると, 最初に, 与えられた次元の Hopf algebra を分類するという問題を提案したのは Kaplansky らしい。文献としては [Kap75] だろうか。 小さな次元の具体的な分類については, Beattie と Garcia の [BG13b; BG13a] を見るとよい。最も新しいものとしては, Andruskiewitsch の survey [And14] がある。

代数的トポロジーに現れる Hopf algebra の典型は, Lie 群の cohomology であるが, このような graded Hopf algebra で連結かつ積が可換なものについては, Milnor と Moore [MM65] の結果がある。 可換性から, 有限生成 Abel 群の類似, つまり Abel 群の基本定理が成り立ちそうであるが, 実際, Milnor と Moore は, 1元生成なものの tensor product に分解することを示している。 係数体が perfect であり, ある有限性をみたすことが必要であるが。

Andruskiewitsch と Schneider [AS10] によると, Hopf algebra の分類は coradical の振舞いによって, いくつかの異なる分類問題に分けられる。Coradical は simple subcoalgebra の直和なので, まずそれが全体と一致する場合, つまり semisimple な場合が考えられるが, 一般にはよく分かっていないようである。

Semisimple でない場合は, coradical が Hopf subalgebra になっている場合とそうでない場合に分けられ, Hopf subalgebra になっている場合の中で特に良い場合として, Andruskiewitsch と Schneider は \(\bbC \) 上の pointed Hopf algebra を考えている。

• pointed Hopf algebra

Andruskiewitsch と Schneider は, [AS10] で group-like element の成す群が Abel群であり, その群の位数の素因子が 7 より大きい \(\bbC \) 上の pointed Hopf algebra の分類に成功している。 その際に使われたのが lifting method という方法である。

• lifting method

その後, group-like element の成す群が, Abel群でない場合の分類も, Andruskiewitsch らにより, 盛んに研究されている。 単純群の場合は, group algebra しかない場合が多いようである。

• 交代群 \(\mathbb{A}_m\) で \(m\ge 7\) の場合は group algebra [And+11a]
• Fischer group, Baby Monster, Monster 以外の sporadic group の場 合は group algebra [And+10; And+11b; And+11c]

これらは, 全て標数 \(0\) の代数的閉体上の Hopf algebra の場合である。 正標数の場合は, どこまで知られているのだろうか。

References

[And+10]

N. Andruskiewitsch, F. Fantino, M. Graña, and L. Vendramin. “Pointed Hopf algebras over some sporadic simple groups”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 348.11-12 (2010), pp. 605–608. arXiv: 0906.1352. url: https://doi.org/10.1016/j.crma.2010.04.023.

[And+11a]

N. Andruskiewitsch, F. Fantino, M. Graña, and L. Vendramin. “Finite-dimensional pointed Hopf algebras with alternating groups are trivial”. In: Ann. Mat. Pura Appl. (4) 190.2 (2011), pp. 225–245. arXiv: 0812.4628.

[And+11b]

N. Andruskiewitsch, F. Fantino, M. Graña, and L. Vendramin. “Pointed Hopf algebras over the sporadic simple groups”. In: J. Algebra 325 (2011), pp. 305–320. arXiv: 1001.1108. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.10.019.

[And+11c]

N. Andruskiewitsch, F. Fantino, M. Graña, and L. Vendramin. “The logbook of pointed Hopf algebras over the sporadic simple groups”. In: J. Algebra 325 (2011), pp. 282–304. arXiv: 1001.1113. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.10.023.

[And14]

Nicolás Andruskiewitsch. “On finite-dimensional Hopf algebras”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians—Seoul 2014. Vol. II. Kyung Moon Sa, Seoul, 2014, pp. 117–141. arXiv: 1403.7838.

[AS10]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “On the classification of finite-dimensional pointed Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 171.1 (2010), pp. 375–417. arXiv: math/0502157. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2010.171.375.

[BG13a]

Margaret Beattie and Gastón Andrés Garcı́a. “Classifying Hopf algebras of a given dimension”. In: Hopf algebras and tensor categories. Vol. 585. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2013, pp. 125–152. arXiv: 1206.6529. url: https://doi.org/10.1090/conm/585/11615.

[BG13b]

Margaret Beattie and Gastón Andrés Garcı́a. “Techniques for classifying Hopf algebras and applications to dimension \(p^3\)”. In: Comm. Algebra 41.8 (2013), pp. 3108–3129. arXiv: 1108.6037. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2012.692004.

[Kap75]

Irving Kaplansky. Bialgebras. Lecture Notes in Mathematics. Department of Mathematics, University of Chicago, Chicago, Ill., 1975, pp. iv+57.

[MM65]

John W. Milnor and John C. Moore. “On the structure of Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 211–264. url: http://dx.doi.org/10.2307/1970615.