Hopfological Algebra

Hopfological algebra とは, Khovanov [Kho16] により提唱された, ホモロジー代数の一般化である。

ホモロジー代数の1つの解釈としては, 調べたいものから triangulated category を作る, というものがある。例えば, ある環 \(R\) を調べたかったら, \(R\)-module の chain complex の成す category から derived category を作ればよい。

もちろん, triangulated category を作る方法は derived category だけではない。 Frobenius algebra 上の stable module category も triangulated category になるし, spectrum の成す stable homotopy category も triangulated category になる。

Khovanov は, Hopf algebra 上の comodule algebra 上の module の category から作られた triangulated category を考えることにより, いくつかの triangulated category を統一的に扱うことを提案している。

Qi [Qi14] によると, 同様のことは, ずっと前に Pareigis [Par81] によって考えられていたようである。Pareigis は, \(k\)-chain complex のcategory が, ある \(k\)上の Hopf algebra 上の comodule の categoryと monoidal category として同値になることを示している。更に, その Hopf algebra を Majid が [Maj] で考えた bosonisation の操作により graded \(k\)-module の monoidal category での Hopf algebra object とみなすと, 外積代数 \(\Lambda (d)\) になる。Khovanov の [Kho16] でも, 最初の例として挙げられている。

この Qi の論文 [Qi14] は Introduction から良くまとまっているので, まずはこれを読むのがよいと思う。Qi と Sussan による survey [QS17] もある。

この Khovanov による triangulated category の構成については, Qi が [Qi] で, 従来のホモロジー代数に近い別の構成を得ている。

Qi の [Qi14] では, cofibrant という用語は登場するが, model category の構造は定義されていない。 そこで, [OT] で model structure を定義してみた。

References

[Kho16]

Mikhail Khovanov. “Hopfological algebra and categorification at a root of unity: the first steps”. In: J. Knot Theory Ramifications 25.3 (2016), pp. 1640006, 26. arXiv: math / 0509083. url: https://doi.org/10.1142/S021821651640006X.

[Maj]

S. Majid. Comments on Bosonisation and Biproducts. arXiv: q-alg/ 9504007.

[OT]

Mariko Ohara and Dai Tamaki. Cotorsion pairs in Hopfological algebra. arXiv: 2012.07159.

[Par81]

Bodo Pareigis. “A noncommutative noncocommutative Hopf algebra in “nature””. In: J. Algebra 70.2 (1981), pp. 356–374. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(81)90224-6.

[Qi]

You Qi. A Rickard equivalence for hopfological homotopy categories. arXiv: 2204.14220.

[Qi14]

You Qi. “Hopfological algebra”. In: Compos. Math. 150.1 (2014), pp. 1–45. arXiv: 1205.1814. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X13007380.

[QS17]

You Qi and Joshua Sussan. “Categorification at prime roots of unity and hopfological finiteness”. In: Categorification and higher representation theory. Vol. 683. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2017, pp. 261–286. arXiv: 1509.00438.