次数付けについて

ホモロジー代数で使われる次数付けには, まず \(\Z \) による次数付けがある。\(\Z \times \Z \) による次数付けも, spectral sequence などのようによく使われる。

幾何学的には, 関数環や structure sheaf が \(\Z /2\Z \)-grading や \(\Z \)-grading を持つものを考えることが行なわれている。

• graded manifold

一方で, \(\Z \) を他の群や monoid に一般化した grading は, 群の代数への作用を考えたりするときに, 自然に現われる。

• 群や monoid による grading
• skew group ring あるいは crossed product

群 \(G\) による \(k\)-module の grading が, group ring \(k[G]\) 上の comodule の構造と同一視できることに気づいたのは, Cohen と Montgomery [CM84] である。

• grading と comodule structure の関係

Abel 群による grading の付いた algebra については, Năstăsescu と Van Oystaeyen の [NV04] がある。また Hazrat の monograph [Haz16] もある。

• group-graded algebra

群による grading を一般化して, small category による grading を考えることもできる。 Algebra の small category による grading は, Santana と Yudin の [SY12] で考えられている。その motivation は, [SY] に現れる algebra を調べることのようである。 また, \(k\)-algebra への群作用に対する skew group algebra の構成を, \(k\)- linear category への群作用に対する構成に一般化することもできる。すると, 群による grading を持つ \(k\)-linear category ができる。 より一般の enriched category の small category による grading については, [Tam] に書いた。

• small category による grading
• graded category
• 群の圏への作用

有限群で grading の付いた有限次元ベクトル空間の成す linear category を, Huang と Liu と Ye [HLY] は linear Gr-category と呼んで, その上の braided monoidal structure を調べている。

\(\Z \)-grading を持つ代数に対しては, graded commutativity という概念は一般的である。特にコホモロジーなどを考えるときには。

• graded commutativity

それを, より一般のAbel群による grading に拡張することも考えられている。 Morier-Genoud と Ovsienko の [MO10; MO] など。

Controlled topology では, metric space による grading を持つ object の成す category が使われる。Higson, Pedersen, Roe の [HPR97] や Carlsson と Goldfarb の [CG11] など。

Lipshitz と Ozsváth と Thurston の [LOT15] では, 群 \(G\) の中心の元 \(\lambda \) を一つ fixし, \(\lambda \) による weight を持つ \(G\)-grading が使われている。

References

[CG11]

Gunnar Carlsson and Boris Goldfarb. “Controlled algebraic \(G\)-theory, I”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 6.1 (2011), pp. 119–159. arXiv: 1101.0573.

[CM84]

M. Cohen and S. Montgomery. “Group-graded rings, smash products, and group actions”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 282.1 (1984), pp. 237–258. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999586.

[Haz16]

Roozbeh Hazrat. Graded rings and graded Grothendieck groups. Vol. 435. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 2016, pp. vii+235. isbn: 978-1-316-61958-2. arXiv: 1405.5071. url: https://doi.org/10.1017/CBO9781316717134.

[HLY]

Hua-Lin Huang, Gongxiang Liu, and Yu Ye. The braided monoidal structures on a class of linear Gr-categories. arXiv: 1206.5402.

[HPR97]

Nigel Higson, Erik Kjær Pedersen, and John Roe. “\(C^{*}\)-algebras and controlled topology”. In: \(K\)-Theory 11.3 (1997), pp. 209–239. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007705726771.

[LOT15]

Robert Lipshitz, Peter S. Ozsváth, and Dylan P. Thurston. “Bimodules in bordered Heegaard Floer homology”. In: Geom. Topol. 19.2 (2015), pp. 525–724. arXiv: 1003.0598. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2015.19.525.

[MO]

Sophie Morier-Genoud and Valentin Ovsienko. Graded commutative algebras: examples, classification, open problems. arXiv: 0909.2779.

[MO10]

Sophie Morier-Genoud and Valentin Ovsienko. “Simple graded commutative algebras”. In: J. Algebra 323.6 (2010), pp. 1649–1664. arXiv: 0904.2825. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.01.004.

[NV04]

Constantin Năstăsescu and Freddy Van Oystaeyen. Methods of graded rings. Vol. 1836. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2004, pp. xiv+304. isbn: 3-540-20746-5. url: https://doi.org/10.1007/b94904.

[SY]

Ana Paula Santana and Ivan Yudin. The Kostant form of \(\mathfrak {U}(sl_n^+)\) and the Borel subalgebra of the Schur algebra \(S(n,r)\). arXiv: 0803.4382.

[SY12]

Ana Paula Santana and Ivan Yudin. “Perfect category-graded algebras”. In: Comm. Algebra 40.1 (2012), pp. 157–172. arXiv: 1003.5492. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2010.526160.

[Tam]

Dai Tamaki. The Grothendieck construction and gradings for enriched categories. arXiv: 0907.0061.