群や Hopf algebra の環への作用

群 \(G\) が環 \(R\) に作用しているときには, skew group ring \(R[G]\) という新しい環を構成することができる。作用が自明のときが, 通常の group ring である。 作用素環の分野でも類似の構成はよく使われているが, そちらでは crossed product と呼ばれているようである。

• skew group ring
• crossed product

Skew group ring は自然に \(G\)-graded algebra の構造を持つ。

• 群によるgrading
• \(G\)-graded algebra
• skew group ring \(R[G]\) は \(G\)-graded algebra

一方, \(G\)-graded algebra に対しては smash product という構成がある。 当然であるが, 基点付き空間や spectrum の smash product とは無関係である。

• \(G\)-graded algebra に対する smash product
• smash product は自然な \(G\)-action を持つ

よって, \(G\)-action を持つ環から出発し, \(G\)-action を持つ環に戻ってきたわけであるが, 元の環と新しくできた環の関係を明らかにしたのが, Cohen と Montgomery の [CM84] である。

• Cohen-Montgomery duality

群の環への作用については, これが基本的な性質なようで, 一般化や変種が色々考えられている。まず, 群の環への作用の一般化としては, 次のようなものが考えられている:

• 群 の \(k\)-linear category への作用
• small category で index された \(k\)-algebra の図式
• 群の partial action (Exel の [Exe94])

更にこれらについて, Cohen-Montgomery duality の一般化が考えられている。 群の圏への作用については, Asashiba の [Asa11; Asa] などがある。

Partial action に対する crossed product あるいは skew group ring の構成については, Dokuchaev と Exel の [DE] などがある。 Alves と Batista [AB09] は, invariant subalgebra などを調べている。

Differential graded algebra への拡張もストレートにできる。それを使ったものとして, Angel, Backelin, Uribe の orbifold string topology に関する [ABU] がある。

環の many-objectification である linear category や一般の category への作用も考えられている。

• 群の圏への作用

Cohen-Montgomery duality の一般化についても考えられている。Hopf algebra の作用については, Blattner と Montgomery の [BM85] と Van den Bergh の [Van84], partial group action や partial Hopf algebra action については, Lomp の [Lom08] がある。

群の algebra や linear category への作用を \(G\), から algebra や linear category への functor とみなしたときには, functor を pseudofunctor や (op)lax functor に弱めることを考えるのが自然である。Linear algebra 全体は 2-category の構造を持つからである。 実際にそのような構造が必要な例として, Maier と Nikolaus と Schweigert [MNSa] の Hopf algebra への weak \(G\)-action がある。その motivation は modular tensor category への \(G\)-action である。

• weak action

彼等は, [MNSb] でそのstrict化を考えている。

以上のことは, Hopf algebra の algebra や category への作用に拡張されている。

• Hopf algebra の algebra への作用
• Hopf algebra と algebraのcrossed product

Hopf algebra \(H\) の algebra \(A\) への左からの algebra homomorphism での作用を考えるというこは, \(A\) を左 \(H\)-module の category での monoid object とみなすことと同値である。 そのようなものを \(H\)-module algebra という。Comonoid object を考えると, \(H\)-module coalgebra の概念を得る。 Hopf algebra なので, \(H\) の coaction を考えることもでき, \(H\)-comodule algebra や \(H\)-comodule coalgebra の概念も考えられる。

• \(H\)-module algebra
• \(H\)-module coalgebra
• \(H\)-comodule algebra
• \(H\)-comodule coalgebra

Guccione と Guccione の [GG03] によると, Hopf algebra の algebra への作用に対する crossed product は, Blattner, Cohen, Montgomery [BCM86] と Doi, Takeuchi [DT86] により独立に定義されたようである。Guccione らはその braided Hopf algebra への一般化を考えている。

Caenepeel と Janssen [CJ08] は, Hopf algebra の partial action を定義し調べている。

• Hopf algebra の algebra への partial (co)action

References

[AB09]

Marcelo Muniz S. Alves and Eliezer Batista. “Partial Hopf actions, partial invariants and a Morita context”. In: Algebra Discrete Math. 3 (2009), pp. 1–19. arXiv: 0901.0959.

[ABU]

Andres Angel, Erik Backelin, and Bernardo Uribe. Hochschild cohomology and string topology of global quotient orbifolds. arXiv: 1004.4427.

[Asa]

Hideto Asashiba. A generalization of Gabriel’s Galois covering functors II: 2-categorical Cohen-Montgomery duality. arXiv: 0905.3884.

[Asa11]

Hideto Asashiba. “A generalization of Gabriel’s Galois covering functors and derived equivalences”. In: J. Algebra 334 (2011), pp. 109–149. arXiv: 0807.4706. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.03.002.

[BCM86]

Robert J. Blattner, Miriam Cohen, and Susan Montgomery. “Crossed products and inner actions of Hopf algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 298.2 (1986), pp. 671–711. url: http://dx.doi.org/10.2307/2000643.

[BM85]

Robert J. Blattner and Susan Montgomery. “A duality theorem for Hopf module algebras”. In: J. Algebra 95.1 (1985), pp. 153–172. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(85)90099-7.

[CJ08]

S. Caenepeel and K. Janssen. “Partial (co)actions of Hopf algebras and partial Hopf-Galois theory”. In: Comm. Algebra 36.8 (2008), pp. 2923–2946. arXiv: math/0610524. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870802110334.

[CM84]

M. Cohen and S. Montgomery. “Group-graded rings, smash products, and group actions”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 282.1 (1984), pp. 237–258. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999586.

[DE]

M. Dokuchaev and R. Exel. Associativity of crossed products by partial actions, enveloping actions and partial representations. arXiv: math/0212056.

[DT86]

Yukio Doi and Mitsuhiro Takeuchi. “Cleft comodule algebras for a bialgebra”. In: Comm. Algebra 14.5 (1986), pp. 801–817. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927878608823337.

[Exe94]

Ruy Exel. “Circle actions on \(C^*\)-algebras, partial automorphisms, and a generalized Pimsner-Voiculescu exact sequence”. In: J. Funct. Anal. 122.2 (1994), pp. 361–401. arXiv: funct-an/9211001. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1994.1073.

[GG03]

Jorge A. Guccione and Juan J. Guccione. “Theory of braided Hopf crossed products”. In: J. Algebra 261.1 (2003), pp. 54–101. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0021-8693(02)00546-X.

[Lom08]

Christian Lomp. “Duality for partial group actions”. In: Int. Electron. J. Algebra 4 (2008), pp. 53–62. arXiv: 0711.0849.

[MNSa]

Jennifer Maier, Thomas Nikolaus, and Christoph Schweigert. Equivariant Modular Categories via Dijkgraaf-Witten Theory. arXiv: 1103.2963.

[MNSb]

Jennifer Maier, Thomas Nikolaus, and Christoph Schweigert. Strictification of weakly equivariant Hopf algebras. arXiv: 1109.0236.

[Van84]

Michel Van den Bergh. “A duality theorem for Hopf algebras”. In: Methods in ring theory (Antwerp, 1983). Vol. 129. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Dordrecht: Reidel, 1984, pp. 517–522.